Otto peut-il sommer les entiers ?

Subsection 4.4 Otto peut-il sommer les entiers ?

On a donc tout une famille de méthodes de sommation, toutes plus puissantes les unes que les autres.

Va-t-on alors pouvoir donner un sens à cette sombre histoire de somme des entiers ?

Remarquons que, bien que la sommation de Hölder nous permette de faire converger les sommes \(A=1-1+1-1+...\) et \(B=1-2+3-4+...\) de notre calcul initial (Section 1.2), elle ne nous autorise pas à reprendre la fin du calcul, en tout cas pas avant d'avoir montré que la somme \(S=1+2+3+4+...\) \((\mathcal H,p)\)-converge vers quelque chose ⁷.

Et c'est là qu'on tombe sur un os.

Exercice 4.4.4. Excès de zèle dans la régularité de \((\mathcal H,p)\text{.}\).

(a)

Notre estimation des suites qui peuvent éventuellement être \((\mathcal H,p)\)-sommables nous permet-elle d'espérer ?

Spoiler.

(b)

Calculer les moyennes de Cesàro \(H^{(1)}_n\) de la série \(\sum n\text{,}\) puis les moyennes de moyennes \(H^{(2)}_n\)

\(\leadsto\) A-t-on le sentiment que c'est bien parti ?

Indice.

On rappelle un calcul qu'on a fait il y a longtemps dans le monde rassurant des sommes finies:

\begin{equation*} 1+2+...+n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2 \end{equation*}

Et on peut aussi montrer par récurrence que

\begin{equation*} 1^2+2^2+...+n^2 = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(n+\frac12)}6 \end{equation*}

Spoiler.

(c)

Plus généralement, soit \((a_n)_n\) une suite telle que

\begin{equation*} S_n=\sum_{k=0}^n a_k \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} +\infty \end{equation*}

Montrer que la moyenne de Cesàro aussi:

\begin{equation*} c_n=\frac{S_1+S_2+...+S_n}{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} +\infty \end{equation*}

\(\leadsto\) En déduire que la série \(\sum a_n\) n'est pas \((\mathcal C,1)\)-convergente.

Spoiler.

(d)

Montrer que si \(S_n\rightarrow\infty\text{,}\) alors en fait \(\sum a_n = + \infty \quad [\mathcal H,p]\text{,}\) quel que soit \(p\text{.}\)

Spoiler.

Remarque 4.4.4.

Les méthodes de sommation \((\mathcal S)\) qui vérifient non seulement

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n a_k \rightarrow S \Rightarrow \sum a_n = S \quad[(\mathcal S)] \end{equation*}

mais aussi

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n a_k \rightarrow \infty \Rightarrow \sum a_n = +\infty \quad[(\mathcal S)] \end{equation*}

sont appelées totalement régulières.

Et pour sommer les entiers, il va donc nous falloir une méthode régulière, mais pas totalement. Al dente régulière, si on veut.