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Section 5.2 Cesàro et la DDS

On a donc bien une formule qui donne directement les sommes de sommes de sommes de Cesàro \(S_n^{(p)}\) directement à partir des \((a_n)_n\text{;}\) et de là, il suffit de diviser par un coefficient binomial pour avoir \(c^{(p)}_n\text{.}\)

Et ça, c'est un gros avantage de la sommation de Cesàro, surtout quand il s'agit de montrer des propriétés générales (comme la DDS)  1 

Montrer que, quel que soit \(p\in\N\text{,}\) la méthode de sommation \((\mathcal C,p)\) est linéaire:

  • Si \(\sum a_n,\sum b_n\) sont deux séries \((\mathcal C,p)\)-convergentes, de sommes respectives \(s_a\) et \(s_b\text{,}\) alors \(\sum(a_n+b_n)\) est aussi \((\mathcal C,p)\)-convergente et

    \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) = s_a+s_b\quad [\mathcal C,p] \end{equation*}

  • Si \(\sum a_n\) \((\mathcal C,p)\)-converge et a pour \((\mathcal C,p)\)-somme \(s_a\) , alors pour tout réel \(\lambda\text{,}\) la série \(\sum \lambda a_n\) est aussi \((\mathcal C,p)\)-convergente et

    \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty (\lambda a_n) = \lambda s_a \quad [\mathcal C,p] \end{equation*}

Rappelons qu'on avait laissé de côté la question de la stabilité des méthodes de sommation de Hölder, justement parce que c'était pénible  2 . Eh bien, avec Cesàro, c'est mieux !

Soit \(\sum a_n=a_0+a_1+a_2+...\) une série \((\mathcal C,p)\)-convergente avec

\begin{equation*} a_0+a_1+a_2+... = S \quad [\mathcal C,p] \end{equation*}

Alors la stabilité, c'est le fait que la série \(a_1+a_2+a_3+...\) est aussi \((\mathcal C,p)\)-convergente et que

\begin{equation*} a_1+a_2+... = S -a_0 \quad [\mathcal C,p] \end{equation*}

Exercice 5.2.1. Stabilité de \((\mathcal C,p)\).

(a)

Soit, donc, \(\sum a_n\) une série \((\mathcal C,p)\)-convergente de \((\mathcal C,p)\)-somme \(S\text{.}\)

Pour formaliser cette idée de mettre de côté le premier terme, on introduit la suite \(\tilde a_n= a_{n+1}\text{:}\)

\begin{equation*} \tilde a_0 = a_1, \tilde a_1=a_2,... \end{equation*}

et donc, il s'agit de montrer que \(\sum \tilde a_n\) est \((\mathcal C,p)\)-convergente de \((\mathcal C,p)\)-somme \(S-a_0\text{.}\)

\(\leadsto\) Montrer, grâce à la formule explicite (5.1.1), que

\begin{equation*} \tilde S_n^{(p)} = \sum_{k=0}^n \binom{n+p-k}{p} \tilde a_k = S_{n+1}^{(p)} - \binom{n+1+p}{p}a_0 \end{equation*}
Spoiler.

(b)

En déduire que

\begin{equation*} \tilde c_n^{(p)}=\frac{\tilde S_n^{(p)}}{\binom{n+p}{p}}=\frac{n+p+1}{n+1}(c_{n+1}^{(p)}-a_0) \end{equation*}
Indice.
Ecrire les coefficients binomiaux avec des factorielles.
Spoiler.

(c)

Conclure sur la stabilité des sommations de Cesàro.

Maintenant, ce qu'on aimerait vérifier, c'est que , si une série tradi-converge, alors ses sommes de Cesàro convergent vers la même somme:

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n a_k \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}s \Rightarrow \forall p\in\N, \sum_{k=0}^\infty a_k = s \quad [\mathcal C,p] \end{equation*}

\(\leadsto\) Autant pour les moyennes "normales" à la Hölder, ça semblait raisonnable, autant pour les sommes de Cesàro, avec les coefficients binomiaux partout, ça saute moins aux yeux !

Exercice 5.2.2. Régularité de \((\mathcal C,p)\).

(a)

Exprimé en termes de Cesàro, il s'agit donc de vérifier que

\begin{equation*} c_n^{(0)} \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}s \Rightarrow\ \forall p\in\N, c_n^{(p)} \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}s \end{equation*}

Ce qu'on va montrer, plus généralement, c'est que, quel que soit \(p\text{,}\) si une série \(\sum a_n\) \((\mathcal C,p-1)\)-converge, alors elle \((\mathcal C,p)\)-converge vers la même somme  3 :

\begin{equation*} c_n^{(p-1)} \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}s \Rightarrow\ \forall p\in\N, c_n^{(p)} \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}s \end{equation*}

\(\leadsto\) Pour faire ça, on va en fait remarquer que \(c_n^{(p)}\) est en fait une sorte de moyenne pondérée de \(c_0^{(p-1)},c_1^{(p-1)},...,c_n^{(p-1)}\text{.}\)

Soit \(p\in\N\text{,}\) montrer d'abord que, pour tout \(n\text{,}\)

\begin{equation*} c_n^{(p)}=\frac{\binom{p-1}{p-1}c_0^{(p)}+\binom{p}{p-1}c_1^{(p)}+...+\binom{n+p-1}{p-1}c_n^{(p)}}{\binom{p+n}{p}}=\frac{\sum_{k=0}^n\binom{p-1+k}{p-1}c_k^{(p-1)}}{\binom{p+n}{p}} \end{equation*}
Indice.

Ecrire \(S_n^{(p)}\) en fonction de \(S_0^{(p-1)},....S_n^{(p-1)}\text{,}\) puis exprimer chacun des \(S_k^{(p-1)}\) en fonction de \(c_k^{(p-1)}\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Occupons-nous maintenant du dénominateur.

Montrer que

\begin{equation} \binom{n+p}{p}=\binom{n+p-1}{p-1}+\binom{n+p-2}{p-1}+....+\binom{p-1}{p-1}= \sum_{j=0}^n \binom{n+p-1-j}{p-1}=\sum_{k=0}^n \binom{p-1+k}{p-1}\tag{5.2.1} \end{equation}
Indice.

Demandez à Pascal de vous passer son triangle, et appliquez-le avec insistance.

Spoiler.

(c)

Faisons le point  4 . Ce qu'on a obtenu, c'est que

\begin{equation*} c_n^{(p)}=\frac{\binom{p-1}{p-1}c_0^{(p)}+\binom{p}{p-1}c_1^{(p)}+...+\binom{n+p-1}{p-1}c_n^{(p)}}{\binom{p-1}{p-1}+....+\binom{n+p-2}{p-1}+\binom{n+p-1}{p-1}}=\frac{\sum_{k=0}^n\binom{p-1+k}{p-1}c_k^{(p-1)}}{\sum_{k=0}^n \binom{p-1+k}{p-1}} \end{equation*}

Autrement dit, si on note \(\alpha_k=\binom{p-1+k}{p-1}\text{,}\) \(c_n^{(p)}\) est en fait la moyenne des \(c_k^{(p-1)}\) pondérée par les coefficients \(\alpha_k\text{.}\)

\(\leadsto\) Vu comme ça, c'est moins étonnant que si \(c_n^{(p-1)}\) converge vers quelque chose, alors \(c_n^{(p)}\) devrait converger vers la même chose.

On va montrer un résultat général qui confirme cette idée:

Soit \((\alpha_n)_n\) une suite de réels positifs tels que \(\sum_{k=0}^n \alpha_k \xrightarrow{n\rightarrow\infty} \infty\text{.}\) Alors, pour toute suite \((x_n)\text{,}\) si \(x_n\rightarrow\ell\) on a

\begin{equation*} \frac{\alpha_0x_0 + ...+\alpha_n x_n}{\alpha_0+...+\alpha_n} \rightarrow \ell \end{equation*}

Avant ça, vérifions que ça nous permet de conclure pour la Cesàro-sommation: vérifier que

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n \binom{p-1+k}{p-1} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} \infty \end{equation*}

et confirmer la stabilité de Cesàro en utilisant le résultat ci-dessus.

Indice.
Ne pas perdre de vue que \(\sum_{k=0}^n \binom{p-1+k}{p-1} =\binom{n+p}{p}\text{,}\) et que \(p\geq 1\) est fixé.
Spoiler.

(d)

Montrons maintenant notre résultat de convergence en moyenne pondérée  5 .

On suppose que \(x_n \rightarrow \ell\text{,}\) et que \(\alpha_0+...+\alpha_n \rightarrow +\infty\text{,}\) et on veut montrer que

\begin{equation*} x'_n=\frac{\alpha_0x_0 + ...+\alpha_n x_n}{\alpha_0+...+\alpha_n}=\sum_{k=0}^n \frac{\alpha_k}{\alpha_0+...+\alpha_n} x_k \rightarrow \ell \end{equation*}

Montrer que

\begin{equation*} |x'_n - \ell | \leq \sum_{k=0}^n \frac{\alpha_k}{\alpha_0+...+\alpha_n} |x_k-\ell|. \end{equation*}
Spoiler.

(e)

Justifier qu'il existe une borne \(M\gt 0\) telle que, quel que soit \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} |x_n-\ell|\leq M \end{equation*}
Spoiler.

(f)

Soit donc \(\varepsilon \gt0\text{,}\) on se met en quête d'un entier \(N\in\N\) à partir duquel \(|x'_n - \ell| \lt \varepsilon\text{.}\)

D'un côté, justifier qu'il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geq n_0\text{,}\) \(|x_n-\ell|\lt \frac{\varepsilon}2\text{,}\) et en déduire que si \(n\geq n_0\)

\begin{equation*} \sum_{k=n_0}^n \frac{\alpha_k}{\alpha_0+...+\alpha_n} |x_k-\ell| \lt \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}
Spoiler.

(g)

D'un autre côté, justifier qu'il existe un entier \(n_1\) tel que, pour tout \(n\geq n_1\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n_0-1} \frac{\alpha_k}{\alpha_0+...+\alpha_n} \lt \frac{\varepsilon}{2M} \end{equation*}
Spoiler.

(h)

En déduire un entier \(N\) qui marche.

Indice.

Quel que soit \(n_0\) fixé, si \(n\geq n_0\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n \frac{\alpha_k}{\alpha_0+...+\alpha_n} |x_k-\ell|=\sum_{k=0}^{n_0-1} \frac{\alpha_k}{\alpha_0+...+\alpha_n} |x_k-\ell|+\sum_{k=n_0}^{n} \frac{\alpha_k}{\alpha_0+...+\alpha_n} |x_n-\ell| \end{equation*}

Par quoi peut-on majorer la somme de droite ? Et si on prend \(n\) plus grand que \(n_1\) aussi, que devient la somme de gauche ?

Spoiler.

On a donc deux familles de sommation de séries divergentes "parallèles": les sommations de Hölder \((\mathcal H,p)\) et les sommations de Cesàro \((\mathcal C,p)\text{.}\)

On sait aussi que pour chacune de ces deux familles, plus \(p\) est grand et plus on peut sommer de trucs.

Essayez!
Ce qui, de proche en proche, nous donne le résultat qu'on veut.
\(\cdot\)
Tiens au fait, quels seraient les poids \(\alpha_k\) pour une moyenne "nature" ?