Sommes des entiers - oui, tous

(a)

Montrer que \((\mathcal C,1)\) vérifie les deux propriétés de linéarité:

• Si \(\sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal C,1]\text{,}\) alors pour tout \(\lambda\in\R\text{,}\) \(\sum_{n=0}^\infty \lambda a_n = \lambda S\ [\mathcal C,1]\)

• Si

  \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal C,1] \text{ et } \sum_{n=0}^\infty b_n =T\ [\mathcal C,1]\text{,} \end{equation*}

  alors

  \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) =S+T\ [\mathcal C,1]\text{.} \end{equation*}

Spoiler.

(b)

Montrer que \((\mathcal C,1)\) est stable: autrement dit que

si \(\sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal C,1]\) alors \(\sum_{n=1}^\infty a_n =S-a_0\ [\mathcal C,1]\)

Indice.

Poser, pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(b_n=a_{n+1}\text{.}\) Ca nous fait une suite \((b_0,b_1,b_2,....)=(a_1,a_2,a_3,....)\)

\(\leadsto\) Il s'agit donc de montrer que, si la série de t.g. \((a_n)_n\) \((\mathcal C,1)\)-converge et a pour \((\mathcal C,1)\)-somme \(S\text{,}\) alors la série de t.g. \((b_n)_n\) \((\mathcal C,1)\)-converge et a pour \((\mathcal C,1)\)-somme \(S-a_0\text{.}\)

On va appeler \(\widetilde S_n=b_0+...+b_n\) les sommes partielles associées à \((b_n)_n\text{.}\) On pourrait exprimer les \(\widetilde S_n\) en fonction des \(S_n\text{,}\) et de là, exprimer \(\frac{\widetilde S_1+...+\widetilde S_n}n\) en fonction de \(\frac{S_1+...+S_n}n\) et \(a_0\text{,}\) et vérifier que ça tend bien vers \(S-a_0\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Il nous reste à montrer que \((\mathcal C,1)\) est régulière: autrement dit, que si la série de terme général \((a_n)_n\) tradi-converge:

alors elle Cesàro-converge vers le même \(S\text{:}\)

On va commencer par le vérifier avec une série convergente qu'on connaît déjà: \(\sum \frac1{2^n}\text{.}\)

Calculer, pour tout \(n\in \N\text{,}\) \(S_n= \sum_{k=0}^n \frac 1 {2^k}\text{.}\)

\(\leadsto\) Et donc, quelle est la tradi-somme de la série de terme général \(\left(\frac1{2^n}\right)_n\) ?

Spoiler.

(d)

Toujours pour la série de terme général \(\left(\frac1{2^n}\right)_n\text{,}\) calculer les moyennes de Cesàro

En déduire que cette série Cesàro-converge vers sa tradi-somme.

Spoiler.

(e)

Maintenant qu'on s'est échauffés, passons au cas général. Soit \((a_n)_n\) une suite telle que \(\sum a_n\) tradi-converge:

Il s'agit de montrer que:

Soit \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) montrer que, dans ce cas, qu'il existe un entier \(n_0\in\N\) et une constante \(C\) (indépendante de \(n\)) tels que, si \(n\geq n_0\)

Indice.

Puisqu'on a supposé que \(S_n\rightarrow S\text{,}\) il existe un rang \(n_0\) tel que, si \(n\geq n_0\text{,}\) pour tout \(k=n_0,...,n\text{,}\) \(|S_k-S|\lt \frac{\varepsilon}2\)

Du coup, si \(n\geq n_0\text{,}\) par quoi peut-on majorer

\begin{equation*} |S_1+...+S_{n_0-1}+S_{n_0}...+S_n -nS| ? \end{equation*}

Spoiler.

(f)

En déduire qu'il existe \(N\in \N\) tel que, pour tout \(n\geq N\text{,}\)

et conclure.

Indice.

Quand \(C\) ne dépend pas de \(n\text{,}\) au bout d'un moment, \(\frac Cn\text{,}\) c'est petit. Très petit. Aussi petit qu'on veut.

Spoiler.

(g)

On a vu que les moyennes de Cesàro permettaient de se débarasser des oscillations de la série de Grandi, ce qui la fait \((\mathcal C,1)\)-converger.

En fait, c'est vrai en général:

Supposons que \((u_n)_n\) est une suite réelle telle que

Montrer que dans ce cas, \((u_n)_n\) ne converge pas.

Bonus: Et si \(\ell_0=\ell_1\text{.}\)

Spoiler.

(h)

Montrer que par contre

Bonus: Et si \((u_n)_n\) a trois valeurs d'adhérence associées aux suites \((u_{3n})_n, (u_{3n+1})_n,(u_{3n+2})_n\) ?

Bonus 2: Et si \((u_{4n})_n\) converge vers \(\ell_0\text{,}\) tandis que les termes d'indices non divisibles par 4 tendent vers \(\ell_1\) ?

Spoiler.