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Section 7.6 ...De seriebus numeribus ?

La transformation d'Euler donne donc une méthode de sommation complètement indépendante de celles qu'on a étudiées jusqu'ici: les sommes Euler-convergentes ne sont pas forcément sommables avec nos méthodes précédentes, et d'un autre côté, ce n'est pas non plus un renforcement de ce qu'on savait déjà faire (puisqu'Euler n'arrive pas à faire converger certaines sommes gérées par Cesàro ou Abel.

Ce qui nous donne de l'espoir: peut-être la transformée d'Euler de la somme des entiers donne enfin \(-\dfrac1{12} ?\text{.}\)

Exercice 7.6.1. Euler contre la somme des entiers.

(a)

Calculer la transformée d'Euler \(a_n^{(1)}\) de la suite \(a_n=n\text{.}\)

La série \(\sum a_n\) est-elle \((\mathcal E,1)\) convergente ?

Spoiler.

(b)

En déduire ce qu'on obtient si on applique la transformée d'Euler \(q\) fois de suite à \(a_n=n\text{.}\) La suite obtenue \(a_n^{(q)}\) donne-t-elle une somme tradiconvergente ?

Spoiler.

En fait, la transformée d'Euler présente le même défaut (ou qualité, question de point de vue) que les méthodes de Cesàro et Hölder: elle est non seulement régulière, mais totalement régulière.

Exercice 7.6.2. Régularité totale de la sommation d'Euler.

De manière générale, on va voir que si

\begin{equation*} S_n=\sum_{k=0}^{n-1} a_k \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}+\infty \end{equation*}

alors, quel que soit \(q\in\N^*\text{,}\)

\begin{equation*} S_n^{(q)} = \frac{1}{(2^q)^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(2^q-1)^{n-k} S_k \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}+\infty \end{equation*}

Autrement dit, si \(\sum a_n\) "tradiverge vers \(+\infty\)", alors \(\sum a_n\) "\((\mathcal E,q)\)-diverge vers \(+\infty\)".

(a)

Supposons donc que \(S_n\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}+\infty\text{,}\) et commençons par montrer que \(S^{(1)}_n\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}+\infty\text{.}\)

Prenons un grand \(M\gt 0\text{,}\) le but est de montrer que, pour \(n\) assez grand, \(S^{(1)}_n \geq M\text{.}\)

Puisque \(S_n\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}+\infty\text{,}\) il existe un entier \(n_0\) à partir duquel \(S_n\geq 2M+2\text{.}\) Montrer que, si \(n\geq n_0\text{,}\)

\begin{equation*} S_n^{(1)} \geq (2M+2) \left(1-\frac1{2^n}\sum_{k=0}^{n_0-1}\binom{n}{k}\right) + \frac1{2^n}\sum_{k=0}^{n_0-1}\binom{n}{k}S_k \end{equation*}
Spoiler.

(b)

Montrer que pour tout \(k=0,...,n_0-1\text{,}\) \(\binom{n}{k} \geq \binom{n_0-1}{k}\text{.}\)

En déduire que

\begin{equation*} \frac1{2^n}\sum_{k=0}^{n_0-1}\binom{n}{k}S_k \geq 2^{n_0-1-n}\min_{k=0,...,n_0-1}S_k \end{equation*}

puis qu'il existe \(n_2\in\N\) tel que, pour tout \(n\geq n_1\text{,}\)

\begin{equation*} \frac1{2^n}\sum_{k=0}^{n_0-1}\binom{n}{k}S_k \geq -1 \end{equation*}
Spoiler.

(c)

D'autre part, montrer que

\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n_0-1}\binom{n}{k} \leq \sum_{k=0}^{n_0-1} n^k \leq (1+n)^{n_0-1} \end{equation*}

et en déduire qu'il existe \(n_2\in\N\) tel que, pour tout \(n\geq n_2\text{,}\)

\begin{equation*} \frac1{2^n}\sum_{k=0}^{n_0-1}\binom{n}{k} \leq \frac12 \end{equation*}
Spoiler.

(d)

Trouver un entier \(N\) tel que, pour tout \(n\geq N\text{,}\)

\begin{equation*} S_n^{(1)} \geq M \end{equation*}

et conclure pour la régularité totale de \((\mathcal E,1)\text{.}\)

Spoiler.

(e)

En déduire que, à partir de là, les choses ne s'améliorent pas en itérant:

\begin{equation*} \forall q\in\N^*,\ S_n^{(q)} \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}+\infty \end{equation*}

où \(S_n^{(q)}\) est la \((\mathcal E,q)\) somme

\begin{equation*} S_n^{(q)}= \frac1{2^{n}}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}S^{(q-1)}_k \end{equation*}

Conclure totalement.

Spoiler.

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