Subsection 4.2 De plus en plus de sommes divergentes
Voyons un exemple de plus: la somme alternée des carrés. Est-ce que 5
\begin{equation*}
1²-2²+3²-4²+5²-....
\end{equation*}
\((\mathcal H,\)quelque chose)-converge vers une autre limite déraisonnable ?
Exercice 4.2.3. Calcul héroïque de \(1²-2²+3²-4²+5²-....\).
(a)
On s'intéresse donc à la Hölder-convergence de la série de terme général \(q_n=(-1)^{n+1}n^2\text{.}\)
D'après l'estimation qu'on a obtenu au Exercice 4.1.2, combien de fois peut-on s'attendre à répéter le procédé de moyennisation pour que ça fonctionne ?
Autrement dit, quel est le \(p\) minimal qui nous permette d'espérer que \(\sum (-1)^{n+1}n^2\) \((\mathcal H,p)\)-converge ?
(b)
On commence par calculer les sommes partielles, en séparant les cas pairs et impairs.
Montrer que
\begin{equation*}
S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}k^2 =
\begin{cases}
-\frac{n(n+1)}2 \amp\text{ si } n \text{ pair,}\\
\frac{n(n+1)}2 \amp\text{ si } n \text{ impair.}
\end{cases}
\end{equation*}
Autrement dit,
\begin{equation*}
S_{2p}=-p(2p+1), \quad S_{2p+1}=(p+1)(2p+1).
\end{equation*}
Indice.
Un truc qui va nous servir beaucoup:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{2p} q_k \amp= \sum_{\substack{k=1\\k\ pair}}^{2p} q_k + \sum_{\substack{k=1\\k\ impair}}^{2p} q_k \\
\amp = \sum_{j=1}^{p} q_{2j} + \sum_{j=1}^{p}q_{2j-1}\\
\amp = \sum_{j=1}^{p} (q_{2j}+q_{2j-1})
\end{align*}
et dans le même ordre d'idées,
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{2p+1} q_k= \sum_{j=0}^{p} (q_{2j}+q_{2j+1})
\end{equation*}
(c)
Calculer, les sommes des sommes partielles \(\sum_{k=1}^n S_k\text{.}\) En déduire que les moyennes de Cesàro de \(\sum q_n\) sont:
\begin{equation*}
H^{(1)}_n=c_n=\frac1n\sum_{k=1}^n S_k =
\begin{cases}
-\frac{n+2}4 \amp \text{ si } n \text{ pair,}\\
\frac{(n+1)^2}{4n} \amp \text{ si } n \text{ impair,}
\end{cases}
\end{equation*}
autrement dit,
\begin{equation*}
c_{2p}=-\frac{p+1}2, \quad c_{2p+1}=\frac{(p+1)^2}{2p+1}
\end{equation*}
Indice.
Même indication qu'au coup d'avant:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{2p} S_k \amp= \sum_{j=1}^{p} (S_{2j}+S_{2j-1})\\
\sum_{k=1}^{2p+1} S_k \amp = \sum_{j=0}^{p} (S_{2j}+S_{2j+1})
\end{align*}
(d)
On continue ! Il s'agit maintenant de calculer les moyennes de la suite \(c_n\text{:}\)
\begin{equation*}
H_n^{(2)}=\frac{H^{(1)}_1+...+H^{(1)}_n}n=\frac{c_1+...+c_n}n
\end{equation*}
Montrer dans un premier temps que:
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n} c_k\amp=-\frac{p}2 + \frac12\sum_{k=1}^p \frac1{2k-1} \text{ si } n =2p\\
\sum_{k=0}^{n} c_k \amp= \frac{p+1}2 - \frac12\sum_{k=1}^p \frac1{2k+1} \text{ si } n =2p+1
\end{align*}
En déduire que
\begin{align*}
H_{2p}^{(2)}=-\frac14 + \frac1{4p}\sum_{k=1}^p \frac1{2k-1} \amp\text{ si } n =2p\\
H_{2p+1}^{(2)}=\frac{p+1}{4p+2} - \frac1{4p+2}\sum_{k=1}^p \frac1{2k+1} \amp\text{ si } n =2p+1
\end{align*}
Est-ce que ça converge, tout ce bazar ?
Indice.
D'un côté, \(H_{2p}^{(2)}\) est la somme d'une constante et de la moyenne de Cesàro des termes de la suite \((r_n=\frac1{2n-1})_n\text{.}\)
Et de l'autre, \(H_{2p+1}^{(2)}\) est la somme d'une suite convergente (vers quoi ?) et de la moyenne des termes de la suite \((\tilde r_n=\frac1{2n+1})_n\text{.}\)
(e)
Justifer, de préférence sans le calculer, que par contre, \(H_n^{(3)}\) converge.
Que faut la \((\mathcal H,3)\)-somme \(1^2 -2^2+3^2-4^2+...\text{?}\)
Indice.
Rappelons-nous que, d'après Task 3.1.1.g si une suite \(u_n\) vérifie
\begin{equation*}
u_{2n}\rightarrow \ell_1,\ u_{2n+1}\rightarrow \ell_2
\end{equation*}
alors
\begin{equation*}
\frac{u_1+...+u_n}n \rightarrow \frac{\ell_1+\ell_2}2.
\end{equation*}
⚠ Les calculs proposés ci-dessous sont un peu....comment dire...
Avis aux amateurs.
