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Section 3.3 Ernesto peut-il sommer \(1-2+3-...\) ?

Peut-on sauver directement la somme alternée des entiers à coups de moyennes Cesàro ?

Exercice Cesàro-somme alternée des entiers

Calculons les sommes partielles de la suite \(b_n=(-1)^{n+1}n\text{:}\)

\begin{align*} B_1\amp=b_0+b_1=1\\ B_2\amp=b_0+b_1+b_2=0+1-2=-1\\ B_3\amp=0+1-2+3=2\\ B_4\amp=0+1-2+3-4=-2\\ B_5\amp=0+1-2+3-4+5=3 \end{align*}

1.

Calculer, d'abord pour \(n=2p\) un entier pair, la somme partielle

\begin{equation*} B_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k k \end{equation*}

Puis calculer \(B_n\) quand \(n=2p+1\) est impair.

Indice.

Séparer \(B_n\) en entiers pairs d'un côté et impairs de l'autre. Puisque c'est une somme finie, cette opération est garantie sans risque.

Spoiler.

Maintenant, regardons ses moyennes de Cesàro:

\begin{align*} c_1\amp=B_1=1\\ c_2\amp=\frac{B_1+B_2}2=0\\ c_3\amp=\frac{B_1+B_2+B_3}3=\frac23\\ c_4\amp=\frac{B_1+B_2+B_3+B_4}4=0\\ c_5\amp=\frac{B_1+B_2+B_3+B_4+B_5}5=\frac35 \end{align*}

2.

Calculer, pour tout \(n\in\N\text{,}\) les moyennes de Cesàro

\begin{equation*} c_n=\frac1n (B_1+...+B_n). \end{equation*}
Indice.

A nouveau, on peut séparer les cas \(n=2p\) et \(n=2p+1\text{.}\)

Spoiler.

3.

Qu'en déduit-on sur la Cesàro-convergence de la somme \(1-2+3-4+...\) ?

Indice.
Spoiler.

Bon, qu'est-ce qui l'empêche de converger, encore ?

\(\leadsto\)Les sommes partielles présentent des oscillations d'amplitudes croissantes: \(B_{2n}\rightarrow-\infty\) tandis que \(B_{2n+1}\rightarrow\infty\text{.}\) Ce qu'on a observé sur les moyennes de Cesàro nous laisse donc supposer qu'elles essaient de converger vers \(\frac12(\infty - \infty)\text{,}\) ce qui est notoirement une mauvaise idée.

Et de fait, les moyennes de Cesàro continuent d'osciller: les moyennes d'indices pairs sont nulles, les moyennes d'indice impair convergent vers \(\frac12\text{.}\)

Mais du coup, si c'est un problème d'oscillations:

...On peut peut-être remoyenner ?

Puisqu'on a

\begin{equation*} \begin{cases} c_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0\\ c_{2n+1}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \frac12 \end{cases} \end{equation*}

D'après le résultat obtenu à la question 3.1.1.g,

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac1n\sum_{k=1}^n c_k = \frac{0+\frac12}2=\frac14 \end{equation*}

Ce qui, d'ailleurs, est le résultat qu'on espérait !