Constat des dégâts

Section 8.1 Constat des dégâts

On aurait presque envie de conclure que la somme des entiers, c'est définitivement \(+\infty\text{,}\) et basta.

Aucune sommation jusqu'ici ne semble pouvoir forcer \(\sum_{n\geq 0} n\) à prendre une valeur finie,....et on est un peu à cours d'idées. On a moyenné avec Cesàro et Hölder, mais pour celle là il n'y a pas de compensations à exploiter; puis on a essayé,avec Abel, de s'approcher sournoisement avec un \(x\lt 1\text{...}\)mais à la limite ça a explosé quand même.

Et en fait, il se trouve que c'est pire que ça:

Exercice 8.1.1. Echec critique des sommes raisonnables..

(a)

Supposons qu'on arrive à trouver une méthode de sommation \((\mathcal S)\) qui respecte la DDS et donne une valeur finie pour la somme des entiers: \(-\frac{1}{12}\text{,}\) ou autre chose d'ailleurs, à ce stade, on ne va plus faire la fine bouche.

\begin{equation*} (\star)\quad\sum_{n\geq 1}^{[\mathcal S]} n =x \end{equation*}

En utilisant la stabilité, vérifier qu'on peut ajouter un zéro au début sans changer la convergence ou la valeur de la somme :

\begin{equation*} (\star\star)\quad0 + \sum_{n\geq 1}^{[\mathcal S]} n = 0+x =x \end{equation*}

et en déduire, par linéarité, que forcément

\begin{equation*} \sum_{n\geq0}^{[\mathcal S]} 1 =0 \end{equation*}

Indice.

La linéarité nous permet de soustraire terme à terme !

Spoiler.

(b)

Refaire exactement les mêmes étapes (stabilité puis linéarité), mais avec la somme des 1, maintenant.

En déduire que

\begin{equation*} 1+0+0+...=0 \quad [\mathcal S] \end{equation*}

Spoiler.

(c)

Vérifier que cette dernière égalité est aussi problématique qu'elle en a l'air:

Montrer que forcément \(\sum_{n\geq 0}^{[\mathcal S]} 0 =0 \) : on ne peut pas raisonnablement donner une autre valeur à un tas de 0, même infini.
Montrer que du coup forcément \(1+0+0+...= 1 \quad [\mathcal S]\text{.}\)
Conclure avec découragement.

Indice.

Le premier point utilise la linéarité, le second la stabilité de \((\mathcal S)\text{.}\)

Spoiler.

Depuis le début, on s'était fixé une tâche impossible: une méthode de sommation raisonnable, qui respecte gentiment la DDS, ne peut tout simplement pas nous donner ce résultat.

Il va donc falloir se tourner vers des sommes déraisonnables.