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Section 6.7 Et alors, la Abel-somme des entiers, ça fait \(-\frac{1}{12} ?\)

Et bien...

Exercice 6.7.1.

(a)

Partons d'une formule à laquelle on ne cesse de revenir: pour tout \(x\in \lbb -1,1\rbb\)

\begin{equation*} \sum_{n\geq 0} x^n = \frac{1}{1-x} \end{equation*}

Qu'obtient-on si on dérive ce polynôme infini ?

En déduire que, si \(x\in \lbb -1,1\rbb\)

\begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} \end{equation*}

(b)

Conclure tristement sur la Abel-convergence de la somme des entiers.

Figure 6.7.1. Abel méditant sur la défaite et concluant définitivement que les séries divergentes, c'est n'importe quoi.