Détruisons ces oscillations

Subsection 4.1 Détruisons ces oscillations

La méthode de sommation qui consiste à appliquer plusieurs fois de suite le procédé de Cesàro s'appelle "sommation de Hölder". On la définit par récurrence:

Otto Hölder était un mathématicien allemand de la fin du XIXeme-début XXème siècle.

On lui doit de nombreux résultats dans des domaines divers: l'inégalité de Hölder, qu'il découvrit en étudiant les séries de Fourier, le théorème de Jordan-Hölder en théorie des groupes, ainsi qu'un autre théorème de Hölder portant sur la fonction Gamma.

Il a inventé la méthode de sommation qui nous intéresse dans un mémoire d'étude sous la direction de Du-Bois Reymond, en 1884, faisant suite à un papier de 1882, Grenzwerthe von Reihen an der Konvergenzgrenze. Comme beaucoup d'autres, son intérêt pour les séries divergentes provenait du domaine prometteur des fonctions analytiques, dont on reparlera prochainement !

Hölder signa un autre papier en 1933, démontrant ainsi qu'on peut être un bon mathématicien sans pour autant être un bon être humain: la Déclaration des professeurs en faveur d'Adolf Hitler et de l'État national-socialiste ², qui signait la fin de la liberté académique et le début d'une sombre période de purge dans les universités allemandes.

Définition 4.1.2.

Soit \((a_n)_n\) une suite réelle. On note, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} H_n^{(0)} = S_n = \sum_{k=0}^n a_k \end{equation*}

et, pour tout \(p\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} H_n^{(p)}=\frac{H_1^{(p-1)}+H_2^{(p-1)}+...+H_n^{(p-1)}}{n} \end{equation*}

Pour chaque \(p\in\N\text{,}\) on obtient ainsi une méthode de sommation, qu'on note \((\mathcal H,p)\text{:}\)

Si \((a_n)_n\) est la suite des sommes partielles d'une série, et si il existe un \(p\in \N\) tel que la suite \((H_n^{(p)})_n\) converge vers \(S\in\R\text{,}\) on dira que la série de terme général \((a_n)_n\) \((\mathcal H,p)\)-converge:

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal H,p] \iff H_n^{(p)} \rightarrow S \end{equation*}

En particulier,

\(\sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal H,0] \) ssi la série de t.g. \((a_n)_n\) tradi-converge, et sa somme est \(S\text{.}\)
\(\sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal H,1] \) ssi la suite

\begin{equation*} H_n^{(1)}=\frac{H_1^{(0)}+H_2^{(0)}+...+H_n^{(0)}}{n} = \frac{S_1+S_2+...+S_n}{n} =c_n \end{equation*}

converge dans \(\R\) , autrement dit ssi la série de t.g. \((a_n)_n\) \((\mathcal C,1)\)-converge, et sa somme est \(S\text{.}\)

Et donc, avec nos notations toutes neuves:

\begin{equation*} 1-2+3-4+... = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}k = \frac14 \quad [\mathcal H,2] \end{equation*}

Exercice 4.1.1. \((\mathcal H,k)\) respecte la DDS..

(a)

Linéarité: Montrer que \((\mathcal H,k)\) vérifie les deux propriétés de linéarité:

Si \(\sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal H,k]\text{,}\) alors pour tout \(\lambda\in\R\text{,}\) \(\sum_{n=0}^\infty \lambda a_n = \lambda S\ [\mathcal H,k]\)
Si

\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal H,k] \text{ et } \sum_{n=0}^\infty b_n =T\ [\mathcal H,k]\text{,} \end{equation*}

alors

\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) =S+T\ [\mathcal H,k]\text{.} \end{equation*}

Indice.

Notons \(H_n^{(p)}(a)\) la suite obtenue à partir de \((a_n)_n\) en appliquant le procédé de moyennisation \(p\) fois, et \(H_n^{(p)}(b)\) celle qu'on obtient en faisant subir le même sort à \((b_n)_n\text{.}\) Que peut-on dire sur \(H_n^{(p)}(a+b)\) ³ ? Et sur \(H_n^{(p)}(\lambda a) ?\)

On pourrait regarder ça pour \(p=0\text{,}\) et regarder si un résultat sympa pour \(p\) se traduit en un résultat sympa pour \(p+1\) ⁴

Spoiler.

(b)

Stabilité: L'ennui ici, c'est que la stabilité, ça ne marche pas bien par récurrence, et d'un autre côté il n'y a pas de façon franchement simple d'exprimer les moyennes de moyennes de moyennes \(H_n^{(p)}\) directement en fonction des termes de la suite \((a_n)_n\text{.}\)

La stabilité de la méthode de Hölder est donc étonnamment pénible. On va la laisser de côté pour le moment, en attendant le retour de Cesàro au chapitre suivant.

(c)

Régularité: Montrer que si la série de terme général \((a_n)_n\) converge, et que sa somme est \(S\text{,}\) alors pour tout \(p\in \N\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal H,p]. \end{equation*}

Indice.

Ce qu'on sait, c'est donc que

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal H,0]. \end{equation*}

Et ce qu'on a vu au Exercice 3.1.1, c'est qu'on peut en déduire

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal H,1]. \end{equation*}

\(\leadsto\) On sait que notre propriété est vraie pour \(p=0\text{,}\) et on peut-être recycler ce qu'on a déjà fait pour passer de \(p\) à \(p+1\) ?

Spoiler.

(d)

Super-régularité: En utilisant la proposition précédente, montrer que si

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal H,p'] \end{equation*}

alors pour tout \(p\gt p'\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal H,p] \end{equation*}

\(\leadsto\) Autrement dit, plus \(p\) est grand, et plus on peut sommer de trucs !

Bonus: Comme les notations, on n'en a jamais assez, notons, pour toute suite \((u_n)_n\)

\begin{equation*} H^{(p)}(u) \text{ la suite } H_n^{(p)}(u). \end{equation*}

\(\leadsto\) Que donne \(H^{(k)}(H^{(p)}(u) )\) ?

Indice.

On fait exactement la même récurrence que pour la régularité, mais cette fois on commence à \(p=p'\) plutôt qu'à \(p=0\text{.}\)

On a donc non pas une, non pas deux, mais une infinité de nouvelles méthodes de sommations, toujours plus puissantes quand on augmente \(p\text{.}\)

Y a-t-il moyen de savoir à l'avance si on peut \((\mathcal H,p)\)-sommer quelque chose ? Y a-t-il des limites à notre puissance ?

Exercice 4.1.2. Estimation des séries \((\mathcal H,p)\)-convergentes.

(a)

Soit \((a_n)_n\) une suite quelconque. Montrer que, quels que soient \(k\) et \(n\) entiers

\begin{equation*} H_n^{(k-1)}=n H_n^{(k)}-(n-1)H_{n-1}^{(k)} \end{equation*}

Spoiler.

(b)

Supposons que la série de terme général \((a_n)_n\) \((\mathcal H,p)\)-converge. On note \(S\) sa \((\mathcal H,p)\)-somme totale.

Montrer que

\begin{equation*} \frac{(H_n^{(p-1)}-S)}{n} \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

et, de là, que

\begin{equation*} \frac{H_n^{(p-1)}}{n} \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0. \end{equation*}

Spoiler.

(c)

En déduire que

\begin{equation*} \frac{S_n}{n^p} \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0, \end{equation*}

et, de là, que

\begin{equation*} \frac{a_n}{n^p} \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0. \end{equation*}

(Dans ce cas là, pour ceux qui aiment petizo, on dit que \(S_n=o(n^p)\) et \(a_n=o(n^p)\))

Spoiler.

(d)

En déduire qu'on n'avait décidément aucune chance de Cesàro-sommer la série de terme général \((-1)^{n+1}n\text{,}\) mais que, pour la Hölder-2-sommation, c'était pas foutu.

En utilisant vos talents d'extrapolation, quel est le \(p\) minimal qu'il permettrait éventuellement de sommer la série \(\sum(-1)^{n+1} n^k\) ?

\(\leadsto\) On verra un peu plus bas que ça marche effectivement.

Spoiler.

(e)

Existe-t-il \(p\in\N\) tel que la série de terme général \((-2)^n\) \((\mathcal H,p)\)-converge ?

Spoiler.

commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9110118

fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9claration_des_professeurs_en_faveur_d%27Adolf_Hitler

Je suis sûre que vous trouverez ce que désigne cette notation !

Ca a un nom, ça...