Si, si, regarde !

Section 1.2 Si, si, regarde !

La somme \(A\) a un nom: c'est la série de Grandi, nommée d'après Luigi Guido Grandi, un prêtre-mathématicien-philosophe-ingénieur italien du XVème-XVIème siècle.

L'étude de la série qui porte son nom fut l'objet d'un débat enflammé entre les mathématiciens de l'époque, avant que les concepts de somme de Cesaro ¹ ou de sommation d'Abel ² soient introduits rigoureusement au XIXème siècle.

Grandi avait remarqué que, d'une part,

\begin{equation*} A= (1-1)+(1-1)+...=0+0+...=0 \end{equation*}

et d'autre part, que

\begin{equation*} A= 1-(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+...=1 \end{equation*}

Des contemporains en déduisirent qu cela montrait que Dieu avait pu créer le monde à partir de rien. Puisque 1=0. Oui. Cette question le lança dans un débat avec le mathématicien Marchetti, qui dura jusqu'à la mort de ce dernier.

Peu satisfait, Grandi reprit la question et en vint à défendre que \(A=\frac12\text{,}\) en se basant sur des arguments géométriques liés à la courbe d'Agnesi ⁵, ou encore sur la formule

appliquée en 1 (ce en quoi il anticipe la méthode de sommation d'Abel). Un autre argument qu'il avançait était la parabole suivante:

Deux frères reçoivent un joyau en héritage, que le testament de leur père leur interdit de vendre. Ils conviennent donc que la gemme résidera un an sur deux chez le premier frère, un an sur deux chez l'autre, et que leur descendants poursuivront ainsi, pour l'éternité. Puisque cela semble juste, c'est donc que chacune des deux familles doit avoir la gemme la moitié du temps. CQFD.

(Leibniz n'était pas du tout convaincu par cet argument.)

La somme \(B\) n'a pas de nom, mais elle fut étudiée avec attention par Euler, en même temps que la somme de Grandi: Euler avait remarqué que les deux étaient des cas particuliers de

(pour \(n=0\) et \(n=1\text{,}\) respectivement)

Il étudiait ces sommes dans la continuité de son travail sur le problème de Bâle (voir par ici ⁶), ce qui le mena plus tard l'étude de la fonction zêta de Riemann ⁷. Que l'on recroisera prochainement !