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Section 4 Applications linéaires et familles de vecteurs

  1. Si \(y\in f(\vect(x_1,\dots,x_n))\) alors il existe \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) tels que \(y=f(\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n)\text{.}\)

    Mais alors, par linéarité de \(f\text{,}\)

    \begin{equation*} y=\lambda_1 f(x_1) + \dots+\lambda_nf(x_n) \in \vect(f(x_1),\dots,f(x_n)). \end{equation*}

    Réciproquement, si \(y\in \vect(f(x_1),\dots,f(x_n))\) alors

    \begin{equation*} y= \sum_i\lambda_i f(x_i)=f\left(\sum \lambda_ix_i\right)\in f(\vect(x_1,\dots,x_n)). \end{equation*}

  2. Si \(\mathscr F\) est génératrice, alors \(\vect(\mathscr F)= E\text{,}\) donc par 1., \(\im(f)=f(\vect(\mathscr F))=\vect(f(x_1),\dots,f(x_n))\text{.}\)

  3. Si \(\mathscr F\) est liée, alors il existe \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) non tous nuls tels que

    \begin{equation*} \lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n=0_E \text{ d'où } f(\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n)=f(0_E) \end{equation*}

    Par linéarité de \(f\text{,}\) ceci donne \(\lambda_1f(x_1)+\dots+\lambda_n f(x_n) = 0_F\text{.}\) Puisque les \(\lambda_i\) ne sont pas tous nuls, cela signifie que la famille \(f(\mathscr F)\) est liée.

  4. est la contraposée de 3.

Comme toujours, attention aux pièges:

⚠On peut avoir \(\mathscr F\) libre mais \(f(\mathscr F)\) liée.

Par exemple, si \(f:(x,y)\mapsto(x,0) \in \R^2\text{,}\) alors pour

\begin{equation*} \mathscr F= \left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right\} \text{ on a } f(\mathscr F)= \left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\} : \end{equation*}

✑ \(\mathscr F\) est libre, mais \(f(\mathscr F)\) est liée.

⚠ On peut avoir \(\mathscr F\) génératrice mais \(f(\mathscr F)\) pas génératrice.

✑ Reprendre l'exemple précédent, \(\mathscr F\) est génératrice, mais pas \(f(\mathscr F)\text{.}\)

Par contre, on a les résultats suivants:

  1. Supposons que \(f\) est injective et \(\mathscr F\) est libre. Soient \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) tels que

    \begin{equation*} \lambda_1 f(x_1)+\dots+\lambda_nf(x_n)=0_F \text{ alors } f(\lambda_1 x_1+\dots+\lambda_n x_n)=0_F \end{equation*}

    donc \(\lambda_1 x_1+\dots+\lambda_n x_n \in \ker(f)=\{0_E\}\text{.}\) Donc

    \begin{equation*} \lambda_1 x_1+\dots+\lambda_n x_n =0_E. \end{equation*}

    Comme \(\mathscr F\) est libre, ceci implique \(\lambda_1=\dots=\lambda_n=0\text{.}\)

    Donc \(f(\mathscr F)\) est libre.

  2. Supposons \(f\) est surjective et \(\mathscr F\) est génératrice. Alors, d'après la proposition Proposition 4.1, \(\vect(f(\mathscr F))=\im(f)=F\text{,}\) donc \(f(\mathscr F)\) est donc génératrice.

On en déduit: