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Section 3 Isomorphismes linéaires

Rappelons qu'une application \(\phi:X\rightarrow Y\) entre deux ensembles est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.

Dansce cas, \(\phi\) admet une application réciproque (ou inverse) \(\phi^{-1}:Y\rightarrow X\) telle que \(\phi\circ\phi^{-1}=\Id_Y\) et \(\phi^{-1}\circ\phi=\Id_X\text{.}\)

Et réciproquement: une application qui admet une réciproque est nécessairement bijective.

[provisional cross-reference: lien vers page de fondements]

\(\leadsto\) On s'intéresse aux propriétés des applications linéaires bijectives.

Definition 3.1.

Une application linéaire bijective \(E\rightarrow F\) est appelée isomorphisme linéaire.

S'il existe une telle application, on dit que \(E\) et \(F\) sont isomorphes.

Si \(E=F\text{,}\) une application linéaire bijective \(E\rightarrow E\) est appelée un automorphisme linéaire. On note \(\mathcal{GL}(E)\) 1  l'ensemble des automorphismes linéaires \(E\rightarrow E\text{.}\)

Cette notation signifie "groupe linéaire de \(E\)"

Soient \(y,y' \in F\) et \(\lambda, \mu \in \K\text{.}\) Il s'agit de montrer que

\begin{equation*} f^{-1}(\lambda y+\mu y')=\lambda f^{-1}(y)+\mu f^{-1}(y'). \end{equation*}

Posons \(x=f^{-1}(y),\, x'=f^{-1}(y')\text{.}\) Alors \(y=f(x)\text{,}\) \(y'=f(x')\) et, par linéarité de \(f\text{:}\)

\begin{align*} \lambda y+\mu y' \amp= \lambda f(x) + \mu f(x')= f(\lambda x + \mu x') \text{ donc}\\ f^{-1}(\lambda y+\mu y')\amp=f^{-1}( f(\lambda x + \mu x')) = \lambda x+ \mu x' = \lambda f^{-1}(y)+\mu f^{-1}(y'), \end{align*}

donc \(f^{-1}\) est bien linéaire.

Considérons \(f:(x,y)\in\R^2 \mapsto (2x+3y,x+y)\in \R^2\text{.}\) Montrons que \(f\) est bijective en calculant \(f^{-1}\text{.}\) Soit \((a,b) \in \R^2\text{,}\) on cherche \((x,y)\in\R^2\) tel que \(f(x,y)=(a,b)\text{,}\) ce qui équivaut à

\begin{equation*} \begin{cases} 2x+3y\amp =a\\ x+y\amp =b \end{cases} \iff \begin{cases} x+y\amp =b\\ \phantom{x+\,}y\amp =a-2b \end{cases} \iff \begin{cases} x\amp =-a+3b\\ y\amp =a-2b \end{cases} \end{equation*}

Chaque élément \((a,b)\in\R^2\) a un unique antécédent par \(f\text{,}\) donc \(f\) est bijective et \(f^{-1}(a,b)=(-a+3b,a-2b)\) est bien une application linéaire.

Soit \(A\in\M_n(\R)\) inversible, alors \(\Phi_A: X\in\R^n \rightarrow AX\in\R^n\) est un isomorphisme linéaire, d'inverse \((\Phi_A)^{-1} = \Phi_{A^{-1}}\text{.}\) En effet,

\begin{align*} \forall Y \in \R^n,\ \Phi_A \circ \Phi_{A^{-1}}(Y)\amp =\Phi_A(A^{-1}Y)=AA^{-1}Y = Y\\ \forall X \in \R^n,\ \Phi_{A^{-1}} \circ \Phi_A(X)\amp =\Phi_{A^{-1}}(AX)=A^{-1}AX = X \end{align*}

donc \(\Phi_{A^{-1}}\) est bien l'application inverse de \(\Phi_A\text{.}\)