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Section 1 Définition et premiers exemples

Definition 1.1.

Une application \(f:E\rightarrow F\) est linéaire si:

  1. Pour tous \((x,y)\in E^2\text{,}\) \(f(x+y) = f(x)+f(y)\text{;}\)
  2. Pour tout \(x\in E\) et pour tout \(\lambda\in\K\text{,}\) \(f(\lambda x)=\lambda f(x)\)

On note \(\boxed{\mathcal L(E,F)}\) l'ensemble des applications linéaires \(E\rightarrow F\text{.}\)

Une application linéaire \(E\rightarrow E\) est appelée un endomorphisme de \(E\text{.}\) On note \(\mathcal L(E)\) l'ensemble des endormorphismes \(E\text{.}\)

Remark 1.2.

En particulier, si \(f: E\rightarrow F\) est linéaire, \(f(0_E)=0_F\text{.}\)

Une caractérisation utile:

On montre les deux implications.

\({\textcolor{blue}{\boxed{\Rightarrow}}}\) Supposons \(f\) linéaire. Soient \((x,y)\in E^2\) et \((\lambda,\mu)\in \K^2\text{.}\) Alors

\begin{equation*} f(\lambda x+\mu y) = f(\lambda x)+f(\mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y). \end{equation*}

\({\color{blue}{\boxed{\Leftarrow}}}\) Supposons que \(f\) vérifie \eqref{eq:app_lin_def}. Alors

  1. En prenant \(\lambda=\mu=1\text{,}\) on obtient, pour tous \((x,y)\in E^2\text{,}\) \(f(x+y)=f(x)+f(y)\text{;}\)
  2. En prenant \(y=0_E\) et \(\mu=1\text{,}\) on obtient, pour tous \(x\in E\) et \(\lambda \in \K\text{,}\) \(f(\lambda x) = \lambda f(x)\text{;}\)

donc \(f\) est linéaire.

Soit \(\alpha \in \K\text{,}\) alors \(h_\alpha:x\in E \mapsto \alpha x \in E\) est linéaire.

\(\leadsto\) En effet, pour tous \((x,y)\in E^2\) et \((\lambda,\mu)\in \K^2\) on a

\begin{equation*} h_\alpha(\lambda x +\mu y)= \alpha(\lambda x + \mu y)= \lambda \alpha x + \mu \alpha y = \lambda h_\alpha(x)+\mu h_\alpha(y). \end{equation*}

Deux cas particulier notables:

  • si \(\alpha=0\) on obtient l'application nulle \(0_{\mathcal L(E)}: x\in E \mapsto 0_E\text{.}\)

    ✑ Plus généralement, l'application \(E\rightarrow F, x\mapsto 0_F\) est linéaire.

  • si \(\alpha=1\) on obtient l'identité \(\Id_E: x\in E \mapsto x\in E\text{.}\)

Soit \(A \in M_{n,p}(\K)\text{,}\) alors l'application

\begin{align*} \Phi_A : \R^p \amp \rightarrow \R^n\\ X \amp \mapsto AX \end{align*}

est linéaire: \(\Phi_A(\lambda X+\mu Y) = A(\lambda X + \mu Y) = \lambda AX + \mu AY\text{.}\)

L'application définie par

\begin{align*} f: \R^3 \amp \rightarrow \R^2 \\ (x,y,z)\amp \mapsto (2x+y,z+y) \end{align*}

est linéaire.

En effet, soient \(u=(x,y,z),\, v=(x',y',z') \in \R^3\text{.}\) Alors

\begin{align*} f( u + v) \amp = f( x + x', y + y', z + z')\\ \amp =(2( x+ x')+(y+y'), (z+z')+(y+y'))\\ \amp =(2x+2x'+y+y',z+z'+y+y')\\ \amp =(2x+y, z+y) + (2x'+y', z'+y') = f(u)+f(v); \end{align*}

De plus, si \(u=(x,y,z)\in\R^3\) et \(\lambda\in\R\text{,}\)

\begin{equation*} f(\lambda u) = f(\lambda x, \lambda y, \lambda z)= (2 \lambda x + \lambda y, \lambda z + \lambda y) = \lambda f(u). \end{equation*}

Sur l'espace vectoriel des polynômes, l'application dérivation \(D :P \in \R[X] \mapsto P' \in \R[X]\) est linéaire:

En effet, pour tous polynômes \(P\) et \(Q\text{,}\) pour tous \((\lambda, \mu)\in \R^2\text{,}\) \(D(\lambda P + \mu Q) = (\lambda P + \mu Q)' = \lambda P' + \mu Q'\text{.}\)

Soient \(E_1, E_2\) deux s.e.v. de \(E\) tels que \(E= E_1 \oplus E_2\text{.}\) Alors les projections

\begin{equation*} \begin{aligned} p_1: E = E_1\oplus E_2 \amp\rightarrow E_1 \\ x=x_1+x_2 \amp\mapsto x_1 \end{aligned} \quad \text { et } \quad \begin{aligned} p_2: E = E_1\oplus E_2 \amp \rightarrow E_2 \\ x=x_1+x_2 \amp \mapsto x_2 \end{aligned} \end{equation*}

sont linéaires.

  • Soit \(x_0\in E\) un vecteur non nul. La translation \(t:x\in E \mapsto x+ x_0 \in E\) n'est pas linéaire:

    \(\leadsto\) En effet, \(t(0_E) = x_0\neq 0_E\text{.}\)

  • L'application \(f:(x,y)\in \R^2 \mapsto (xy,y^2-x) \in \R^2\) n'est pas linéaire: en effet

    \begin{equation*} f(1,1) = (1,0) \text{ et } f(2,2) = (4,2) \neq 2 f(1,1). \end{equation*}

    On n'a donc pas, pour tout \(u\in \R^2\) et pour tout \(\lambda\in \R\text{,}\) \(f(\lambda u) = \lambda f(u)\text{.}\)

On peut composer des applications linéaires:

✑ Essayez de le montrer !

Soient \(x,y\in E\text{,}\) \(\lambda, \mu\in \K\text{.}\) Alors

\begin{align*} g\circ f(\lambda x + \mu y) \amp =g(f(\lambda x+ \mu y))\\ \amp =g(\lambda f(x) + \mu f(y)) \text{ car est linéaire}\\ \amp =\lambda g(f(x))+\mu g(f(y)) \text{ car est linéaire}\\ \amp =\lambda (g\circ f)(x) + \mu(g\circ f)(y). \end{align*}

Donc \(g\circ f\) est bien linéaire.

Soit \(A\in\mathcal M_n(\R)\text{.}\) On a vu que \(\Phi_A: X\in\R^n \mapsto AX\in\R^n\) est linéaire. D'après la proposition,

\begin{equation*} \Phi_A \circ \Phi_A:X\in \R^n \mapsto A^2 X\in\R^n \end{equation*}

est également linéaire.

En fait, on le savait déjà ! On voit en effet que \(\Phi_A \circ \Phi_A = \Phi_{A^2}\) avec \(A^2\in \mathcal M_n(\R)\text{.}\)

On peut aussi sommer les applications linéaires, et les multiplier par des scalaires:

Soient \(x,y\in E\text{,}\) \(\mu_1, \mu_2\in \K\text{.}\) Alors on a

\begin{align*} (f+g)(\mu_1 x + \mu_2 y) \amp = f(\mu_1 x + \mu_2 y)+g(\mu_1 x + \mu_2 y)\\ \amp = \mu_1 f(x) + \mu_2 f(y) + \mu_1 g(x) + \mu_2 g(y) \\ \amp = \mu_1(f(x)+g(x))+\mu_2 (f(y)+g(y))\\ \amp =\mu_1 (f+g)(x) + \mu_2 (f+g)(y) \end{align*}

donc \(f+g\) est linéaire.

D'autre part,

\begin{align*} (\lambda f)(\mu_1 x + \mu_2 y) \amp = \lambda(\mu_1 f(x) + \mu_2 f(y))\\ \amp = \mu_1(\lambda f)(x)+\mu_2 (\lambda f)(y), \end{align*}

donc \(\lambda f\) est linéaire.

Ces deux opérations devraient vous rappeler quelque chose ! Vous ne serez donc pas surpris d'apprendre que:

On sait que l'ensemble des fonctions \(E\rightarrow F\) est un espace vectoriel. Il suffit donc de montrer que \(\mathcal L(E,F)\) est un s.e.v. Or

  1. L'application constante égale à \(0_F\) est linéaire;
  2. Pour tous \(f,g \in \mathcal L(E,F)\text{,}\) \(f+g \in \mathcal L(E,F)\text{;}\)
  3. Pour tout \(f\in \mathcal L(E,F)\text{,}\) pour tout \(\lambda\in \K\text{,}\) \(\lambda f \in \mathcal L(E,F)\text{.}\)

Donc \(\mathcal L(E,F)\) est bien un s.e.v de l'espace des fonctions \(E\rightarrow F\text{.}\)