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Section 2 Applications linéaires et sous-espaces vectoriels

Subsection 2.1 Image d'une application linéaire

Rappelons que, lorsqu'on a une application (pas forcément linéaire) \(\phi: X\rightarrow Y\) entre deux ensembles, on peut définir l'image (directe) par \(\phi\) d'un sous ensemble \(A\subset X\text{:}\)

\begin{equation*} \phi(A) = \{\phi(x),x\in A\} = \{y\in Y | \exists x\in A, y=\phi(x)\} \end{equation*}

On s'intéresse ici à l'image d'un s.e.v. par une application linéaire:

Vérifions que \(f(E')\) est un s.e.v.

  1. Comme \(E'\) est un s.e.v. de \(E\text{,}\) \(0_E\in E'\text{.}\) Puisque \(f\) est linéaire, \(f(0_E)=0_F\text{,}\) donc \(0_F \in f(E')\text{.}\) Donc \(f(E')\neq \emptyset\text{.}\)

  2. Soient \(y_1,y_2\in f(E')\text{,}\) \(\lambda_1, \lambda_2\in \K\text{.}\) Montrons que \(\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 \in f(E')\text{.}\) Il existe donc \(x_1,x_2 \in E'\) tels que \(y_1= f(x_1)\) et \(y_2=f(x_2)\text{.}\)

    Puisque \(E'\) est un s.e.v., \(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2 \in E'\text{,}\) et

    \begin{equation*} \lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2 =\lambda_1f(x_1)+\lambda_2 f(x_2) = f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \end{equation*}

    donc \(\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2 \in f(E')\text{.}\)

De là, on va pouvoir définir un s.e.v. de \(F\) particulièrement intéressant:

Definition 2.2.

Soit \(f\in\L(E,F)\text{.}\) L'ensemble \(f(E)\) est un s.e.v. de \(F\text{,}\) appellé image de \(f\) et noté \(\im(f)\text{.}\)

✑ Au fait, pourquoi ?

Soit \(A\in \M_{n,p}(\R)\) et \(\Phi_A: X\in \R^p \mapsto AX \in \R^n\) l'application associée.

Un vecteur \(b=(b_1,\dots,b_n)\) est dans \(\im(\Phi_A)\) ssi il existe \(x=(x_1,...,x_p)\in \R^p\) tel que \(\Phi_A(x)=b\text{,}\) autrement dit

\begin{equation*} A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} \text{ i.e. } \begin{cases} a_{11}x_1+\dots+a_{1p}x_p = b_1\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+\dots+a_{np}x_p = b_n\\ \end{cases} \end{equation*}

Autrement dit, \(b\in \im(\Phi_A)\) ssi ce sytème admet des solutions.

On va déterminer l'image de l'application linéaire

\begin{align*} f:\R^3 \amp \rightarrow \R^2\\ (x,y,z)\amp \mapsto (2x+y, y+z) \end{align*}

Un vecteur \((a,b)\in \R^2\) alors \((a,b)\in\im(f)\) s'il existe \((x,y,z)\in\R^3\) tel que \(f(x,y,z)=(a,b)\) autrement dit, si

\begin{equation*} \begin{cases} 2x+y\amp =a\\ y+z\amp =b \end{cases} \text{ i.e. } \begin{cases} x=\frac 12(a-b+z)\\ y=b-z \end{cases} \end{equation*}

Ainsi, quel que soit \((a,b)\in \R^2\text{,}\) ce système admet une infinité de solutions; par exemple \((\frac12 (a-b),b,0)\) vérifie \(f(\frac12(a-b),b,0)=(a,b)\text{.}\)

On en déduit que \(\im(f)=\R^2\text{,}\) et que \(f\) est surjective.

Subsection 2.2 Noyau d'une application linéaire

Vérifions que \(f^{-1}(F')\) est un s.e.v.

  1. Puisque \(f\) est linéaire, \(f(0_E)=0_F\text{.}\) Comme \(F'\) est un s.e.v., \(0_F\in F'\text{.}\) On en déduit que \(0_E\in f^{-1}(F')\text{.}\)

  2. Soient \(x_1,x_2\in f^{-1}(F')\text{,}\) \(\lambda, \mu\in \K\text{.}\) Montrons que \(\lambda x_1 + \mu x_2 \in f^{-1}(F')\text{.}\)

    On sait que \(f(x_1)\in F'\) et \(f(x_2)\in F'\) donc, puisque \(F'\) est un s.e.v., \(\lambda f(x_1) + \mu f(x_2) \in F'\text{.}\)

    Puisque \(f\) est linéaire, on a donc \(f(\lambda x_1 + \mu x_2) \in F'\text{,}\) autrement dit, \(\lambda x_1 + \mu x_2 \in f^{-1}(F')\text{,}\) comme souhaité.

\(\leadsto\) \(f^{-1}(F')\) est donc bien un s.e.v. de \(E\text{.}\)

Definition 2.7.

Soit \(f\in\L(E,F)\text{.}\) L'ensemble \(f^{-1}(\{0_F\})\) est un s.e.v. de \(E\text{,}\) appelé noyau de \(f\) et noté \(\Ker(f)\text{.}\)

On procède par double implication.

  • \({\color{blue}{\boxed{\Rightarrow}}}\) Supposons que \(f\) est injective. On a \(f(0_E)=0_F\text{,}\) donc \(0_E\in \Ker(f)\text{.}\)

    Pour l'inclusion réciproque, remarquons que, si \(x\in\Ker(f)\text{,}\) alors \(f(x)=0_F=f(0_E)\text{,}\) donc par injectivité de \(f\text{,}\) \(x=0_E\text{.}\)

    Donc \(\Ker(f)=\{0_E\}\text{.}\)

  • \({\color{blue}{\boxed{\Leftarrow}}}\) Supposons que \(\Ker(f)=\{0_E\}\text{.}\) Soient \(x,x'\in E\) tels que \(f(x)=f(x')\text{.}\)

    Alors, \(f(x-x')=f(x)-f(x')=0_F\text{,}\) donc \(x-x'\in \Ker(f)=\{0_E\}\text{,}\) donc \(x-x'=0_E\text{.}\)

    Donc \(x=x'\text{,}\) et \(f\) est injective.

Soit \(A\in\M_{n,p}(\R)\text{,}\) et \(\Phi_A:X\in\R^p \mapsto AX \in \R^n\text{.}\) Alors \(X\in \Ker \Phi_A\) ssi \(X\) est solution du système

\begin{equation*} A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix} \text{ i.e. } \begin{cases} a_{11}x_1+\dots+a_{1p}x_p = 0\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+\dots+a_{np}x_p = 0\\ \end{cases} \end{equation*}

Considérons à nouveau \(f:(x,y,z)\in\R^3\mapsto (2x+y, y+z)\in \R^2\)

Alors \((x,y,z)\in \Ker(f)\) ssi

\begin{equation*} f(x,y,z)=(0,0) \iff \begin{cases} 2x+y\amp =0\\ \phantom{2x\,+}y+z\amp =0 \end{cases} \iff \begin{cases} x=\frac z 2\\ y=-z \end{cases} \end{equation*}

Donc \(\Ker(f)=\{(\frac z2, -z,z), z\in \R\}=\vect(\frac12, -1,1)\text{.}\)