Vocabulaire

Section 4 Vocabulaire

On introduit un peu de jargon concernant des matrices particulières, ainsi que quelques opérations "classiques" sur les matrices.

Sous-section 4.1 Matrices particulières

Définition 4.1.

Soit \(A\in \mathcal M_n(\R)\text{.}\)

On dit que \(A\) est triangulaire supérieure si tous les éléments au-dessous de la diagonale sont nuls: \(i \gt j \Rightarrow a_{ij}=0\text{.}\)
On dit que \(A\) est triangulaire inférieure si tous les éléments au-dessus de la diagonale sont nuls: \(i \lt j \Rightarrow a_{ij}=0\text{.}\)
On dit que \(A\) est diagonale si tous les éléments en dehors de la diagonale sont nuls: \(i\neq j \Rightarrow a_{ij}=0\text{.}\)

\begin{equation*} \underset{\text{Triangulaire sup}}{ \begin{pmatrix} a_{11}\amp a_{12}\amp \cdots\amp a_{1n}\\ 0\amp a_{22}\amp \ast\amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix} }\ \underset{\text{Triangulaire inf}}{ \begin{pmatrix} a_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ a_{21}\amp a_{22}\amp \ddots\amp \vdots\\ \vdots\amp \ast\amp \ddots\amp \\ a_{n1}\amp \cdots\amp \amp a_{nn} \end{pmatrix} }\ \underset{\text{Diagonale}}{ \begin{pmatrix} a_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp a_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix} } \end{equation*}

✑ Vrai ou faux ?

Si \(A,B\) sont diagonales alors \(A+B\) aussi.
Spoiler
🗸 Vrai: \(\begin{pmatrix} a_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp a_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp b_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp b_{nn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp a_{22}+b_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn}+b_{nn} \end{pmatrix}\)
Si \(A\) est diagonale et \(\lambda\in\R\text{,}\) alors \(\lambda A\) aussi est diagonale.
Spoiler
🗸 Vrai: \(\lambda \begin{pmatrix} a_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp a_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda a_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp \lambda a_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp \lambda a_{nn} \end{pmatrix}\)
Si \(A,B\) sont diagonales alors \(AB\) aussi.
Spoiler
🗸 Vrai: \(\begin{pmatrix} a_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp a_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp b_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp b_{nn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}\amp 0\amp \cdots\amp 0\\ 0\amp a_{22}b_{22}\amp \amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp 0\\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix}\)
Si \(A,B\) sont triangulaires alors \(A+B\) aussi.
Spoiler
✗ Faux: si \(A=\begin{pmatrix} 1\amp 1\\0\amp 2 \end{pmatrix} ,\ B= \begin{pmatrix} 3\amp 0\\1\amp 2 \end{pmatrix}\) alors \(A\) et \(B\) sont triangulaires, mais \(A+B=\begin{pmatrix} 4\amp 1\\1\amp 4 \end{pmatrix}\) ne l'est pas.
Si \(A,B\) sont triangulaires alors \(AB\) aussi.
Spoiler
✗ Faux: si \(A=\begin{pmatrix} 1\amp 1\\0\amp 2 \end{pmatrix} ,\ B= \begin{pmatrix} 3\amp 0\\1\amp 2 \end{pmatrix}\) alors \(A\) et \(B\) sont triangulaires, mais \(AB=\begin{pmatrix} 4\amp 2\\2\amp 4 \end{pmatrix}\) ne l'est pas.
Si \(A,B\) sont triangulaires supérieures alors \(A+B\) aussi.
Spoiler

🗸 Vrai:

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11}\amp a_{12}\amp \cdots\amp a_{1n}\\ 0\amp a_{22}\amp \ast\amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11}\amp b_{12}\amp \cdots\amp b_{1n}\\ 0\amp b_{22}\amp \ast\amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \\ 0\amp \cdots\amp 0\amp b_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}\amp a_{12}+b_{12}\amp \cdots\amp a_{1n}+b_{1n}\\ 0\amp a_{22}+b_{22}\amp \ast\amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn}+b_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}
Si \(A\) est triangulaire et \(\lambda\in\R\text{,}\) alors \(\lambda A\) aussi est triangulaire.
Spoiler

🗸 Vrai:

\begin{equation*} \lambda \begin{pmatrix} a_{11}\amp a_{12}\amp \cdots\amp a_{1n}\\ 0\amp a_{22}\amp \ast\amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}\amp \lambda a_{12}\amp \cdots\amp \lambda a_{1n}\\ 0\amp \lambda a_{22}\amp \ast\amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \\ 0\amp \cdots\amp 0\amp \lambda a_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}

et ça marche aussi pour les matrices triangulaires inférieures.
Si \(A,B\) sont triangulaires supérieures alors \(AB\) aussi.
Spoiler

🗸 Vrai: Soient

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_{11}\amp a_{12}\amp \cdots\amp a_{1n}\\ 0\amp a_{22}\amp \ast\amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \\ 0\amp \cdots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} b_{11}\amp b_{12}\amp \cdots\amp b_{1n}\\ 0\amp b_{22}\amp \ast\amp \vdots\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \\ 0\amp \cdots\amp 0\amp b_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}

Alors, si \(i>j\text{,}\) le coefficient en position \(i,j\) de \(AB\) est:

\begin{equation*} (AB)_{ij}= \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^{i-1} \underbrace{a_{ik}}_{=0}b_{kj}+\sum_{k=1}^n a_{ik}\underbrace{b_{kj}}_{=0} \end{equation*}

donc \(AB\) est triangulaire supérieure.

Sous-section 4.2 Transposition

Définition 4.2.

Soit \(A\in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{.}\) La transposée de \(A\text{,}\) notée \({}^tA\text{,}\) est la matrice de taille \(p\times n\) dont le \((i,j)\)-ième coefficient est \(a_{ji}\text{.}\) Ainsi,

\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} a_{11} \amp \cdots \amp a_{1p}\\ a_{21}\amp \cdots\amp a_{2p}\\ \vdots\amp \ddots\amp \vdots\\ a_{n1}\amp \cdots\amp a_{np} \end{pmatrix} \Rightarrow {}^t A = \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{21}\amp \cdots \amp a_{n1}\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \vdots\\ a_{1p}\amp \cdots\amp a_{n-1,p}\amp a_{np} \end{pmatrix} \end{equation*}

Exemple 4.3.

\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 0\amp 3\\ 1\amp -5\\ -1\amp 2 \end{pmatrix},\quad {}^tA= \begin{pmatrix} 0\amp 1\amp -1\\ 3\amp -5\amp 2 \end{pmatrix} \end{equation*}

Proposition 4.4.

Soient \(A,B\in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{.}\) Alors \({}^t(A+B)={}^tA+{}^tB\text{.}\)
Soient \(A \in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{,}\) \(\lambda\in\K\text{.}\) Alors \({}^t(\lambda A)=\lambda {}^tA\)
Soit \(A \in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{,}\) alors \({}^t({}^t A)=A\)
Soit \(A \in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{,}\) \(B \in \mathcal M_{p,q}(\K)\text{,}\)alors \({}^t(AB)={}^tB{}^tA\) ¹
Si \(A \in \mathcal M_{n}(\K)\) est inversible, \({}^t A\) aussi et \(({}^t A)^{-1}={}^t(A^{-1})\text{.}\)

✑ vérifiez les tailles des matrices !

Démonstration

✑ Pour \(A,B\in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{,}\) donner la taille de \(A+B\text{,}\)\({}^tA\text{,}\) \({}^tB\text{.}\) En déduire que \({}^tA+{}^tB\) est bien définie.

✑ Quelle est la taille de \({}^t(A+B)\) ? Et celle de \({}^tA+{}^tB\text{?}\)

Spoiler
- \(A+B\) est de taille \(n\times p\)
- \({}^tA\) et \({}^tB\) sont de taille de taille \(p\times n\)
- \(\leadsto\) donc on peut les sommer et \({}^tA+{}^tB\) est de taille \(p\times n\text{.}\)
✑ Donner le coefficient en position \((i,j)\) de \({}^t(A+B)\) et celui de \({}^tA+{}^tB\text{.}\)

Spoiler

Pour \(i=1,...p,j=1,...n\text{,}\)

\begin{equation*} ({}^t(A+B))_{ij}=({}^tA)_{ij}+({}^tB)_{ij}=a_{ji}+b_{ji}=(A+B)_{ji}=({}^t(A+B))_{ij}. \end{equation*}

\(\leadsto\) Les matrices \({}^tA+{}^tB\) et \({}^t(A+B)\) ont même taille et même coefficients, elles sont donc égales.
Soient \(A \in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{,}\) \(\lambda\in\K\text{.}\) Donner la taille et le coefficient en position \((i,j)\) de \(\lambda{}^t A\) et de \({}^t(\lambda A)\text{.}\)

Spoiler
- \(\lambda{}^t A\) est de même taille que \({}^t A\text{,}\) c'est-à-dire \(p\times n\text{.}\)
- \(\lambda A\) est de taille \(p\times n\) donc \({}^t(\lambda A)\) est de taille \(p\times n\text{.}\)
et on a, pour \(i=1,...p,j=1,...n\)

\begin{equation*} (\lambda{}^t A)_{ij}=\lambda({}^t A)_{ij}=\lambda a_{ji} = (\lambda A)_{ji} = ({}^t(\lambda A))_{ij} \end{equation*}
\(\leadsto\) Les matrices \(\lambda{}^t A\) et \({}^t(\lambda A)\) ont même taille et même coefficients, elles sont donc égales.
✑ Donner la taille et le coefficient en position \((i,j)\) de la matrice \({}^t({}^t A)\text{.}\)

Spoiler

\({}^tA\) est de taille \(p\times n\) dont \({}^t({}^t A)\) est de taille \(n \times p\text{,}\) et pour \(i=1,...p,j=1,...n\)

\begin{equation*} ({}^t({}^t A))_{ij}=({}^t A)_{ji} = a_{ij}. \end{equation*}

\(\leadsto\) Les matrices \({}^t({}^t A)\) et \(A\) ont même taille et même coefficients, elles sont donc égales.
✑ Donner la taille des matrices \({}^t(AB)\) et \({}^tB{}^tA\text{.}\)

Spoiler
- \(AB\) est de taille \(n\times q\) donc \({}^t(AB)\) est de taille \(q \times n\text{.}\)
- \({}^tB\) est de taille \(q\times p\text{,}\) \({}^tA\) est de taille \(p\times n\)
- \(\leadsto\) on peut multiplier \({}^tB\) et \({}^tA\) et \({}^tB{}^tA\) est de taille \(q \times n\text{.}\)
✑ En utilisant la formule (2.1), calculer le coefficient en position \((i,j)\) de \({}^t(AB)\) et de \({}^tB{}^tA\text{.}\)

Spoiler

Pour \(i=1,...,q,j=1,...,n\text{:}\)

\begin{align*} ({}^t(AB))_{ij} \amp = (AB)_{ji} = \sum_{k=1}^p a_{jk}b_{ki}\\ \amp = \sum_{k=1}^p ({}^tA)_{kj}({}^tB)_{ik}\\ \amp = ({}^tB{}^tA)_{ij} \end{align*}

\(\leadsto\) Ces deux matrices ont même taille et même coefficients, elles sont donc égales.
✑ En utilisant la propriété précédente, calculer \(({}^t A)({}^t(A^{-1}))\text{.}\)

Spoiler

\begin{equation*} ({}^t A)({}^t(A^{-1}))= {}^t(A^{-1}A) = {}^t I_n = I_n \end{equation*}

donc \({}^t A\) est inversible d'inverse \({}^t(A^{-1})\text{.}\)

Définition 4.5.

Une matrice \(A\) est dite symétrique si \({}^t A = A\text{.}\)
Une matrice \(A\) est dite antisymétrique si \({}^t A = -A\text{.}\)

Exemple 4.6.

\(\begin{pmatrix}-1\amp 0\amp 5\\0\amp 2\amp -1\\5\amp -1\amp 2\end{pmatrix}\) est symétrique, et \(\begin{pmatrix}0\amp 3\amp 1\\-3\amp 0\amp 2\\-1\amp -2\amp 0\end{pmatrix}\) est antisymétrique.

Remarque 4.7.

Les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétriquesont tous nuls²

✑ Pourquoi ?

Sous-section 4.3 Trace

Définition 4.8.

Soit \(A\in \mathcal M_n(\K)\) une matrice carrée. La trace de \(A\) est la somme des coefficients diagonaux de \(A\text{:}\)

\begin{equation*} Tr(A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=\sum_{i=1}^n a_{ii} \end{equation*}

Exemple 4.9.

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix}1\amp 0\amp 3\\11\amp 5\amp 2\\6\amp 12\amp -5\end{pmatrix} \end{equation*}

Alors

\begin{equation*} \Tr(A)=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1 \end{equation*}

Proposition 4.10.

Soient \(A,B\in \mathcal M_n(\K)\text{,}\) \(\lambda\in \K\text{.}\) On a:

\(\Tr(A+B)=\Tr(A)+\Tr(B)\text{,}\) \(\Tr(\lambda A)=\lambda \Tr(A)\)
\(\displaystyle \Tr({}^tA)=\Tr(A)\)
\(\displaystyle \Tr(AB)=\Tr(BA)\)

Démonstration

✑ Calculer \(\Tr(A+B)\) et \(\Tr(\lambda A)\) en utilisant les propriétés usuelles des sommes.

Spoiler
\begin{align*} \Tr(A+B) \amp =\sum_{i=1}^n (A+B)_{ii} = \sum_{i=1}^n (a_{ii}+b_{ii}) = \sum_{i=1}^n a_{ii}+\sum_{i=1}^n b_{ii} \\ \amp = \Tr(A)+\Tr(B)\\ \Tr(\lambda A) \amp = \sum_{i=1}^n (\lambda A)_{ii} = \sum_{i=1}^n \lambda a_{ii} = \lambda \sum_{i=1}^n a_{ii} = \lambda \Tr(A) \end{align*}
✑ Quels sont les coefficients diagonaux de \({}^tA\) ? En utilisant cela, donner \(\Tr({}^tA)\text{.}\)

Spoiler

Les coefficients diagonaux de \({}^tA\) sont les coefficients \(({}^tA)_{ii}=a_{ii}\) : ce sont les mêmes que ceux de \(A\text{.}\) Donc

\begin{equation*} \Tr({}^tA) = \sum_{i=1}^n ({}^tA)_{ii} = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \Tr(A) \end{equation*}
✑ Quels sont les coefficients diagonaux de \(AB\) ? et ceux de \(BA\text{?}\)

✑ En utilisant les propriétés des sommes, en déduire que \(\Tr(AB)=Tr(BA)\)

Spoiler

En utilisant la formule (2.1):

\begin{equation*} (AB)_{ii} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki},\quad (BA)_{ii} = \sum_{k=1}^n b_{ik}a_{ki} \end{equation*}

donc

\begin{align*} \Tr(AB)\amp = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki}\\ \amp = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ik}b_{ki}\\ \amp = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n b_{ki} a_{ik} = \sum_{k=1}^n (BA)_{kk}\\ \amp= \Tr(BA). \end{align*}

Remarque 4.11.

✑ Si \(P\) est une matrice inversible, que vaut \(\Tr(P^{-1}AP)\) ?

Indication

Utiliser le dernier point de la proposition précédente.

Spoiler

\(\Tr(P^{-1}AP)=\Tr(APP^{-1}) = \Tr(AI_n)=\Tr(A) \)

Remarque 4.12.

✑ Soit \(A \in \mathcal M_{n,p}(\K)\) est une matrice pas forcément carrée. Calculer \(\Tr({}^tAA)\)³.

Remarquons que \({}^tAA\) est de taille \(p\times p\text{:}\) c'est une matrice carrée, et sa trace est donc bien définie.

Indication

Essayer avec \(A= \begin{pmatrix}1 \amp 2 \end{pmatrix}\) et \(A=\begin{pmatrix}a \amp 0 \amp b \\ c \amp d \amp 0\end{pmatrix}\) .

Spoiler

On calcule les coefficients diagonaux de \({}^tAA\text{:}\)

\begin{equation*} ({}^tAA)_{ii} = \sum_{k=1}^n ({}^tA)_{ik}a_{ki}=\sum_{j=1}^n a_{ki}^2 \end{equation*}

donc

\begin{equation*} \Tr({}^tAA) = \sum_{i=1}^p \sum_{k=1}^n a_{ki}^2 \end{equation*}

C'est la somme des coefficients de \(A\) au carré.