Matrices

Démonstration

1. ✑ Calculez le produit de \(A=\begin{pmatrix}a\amp b\amp c\\d\amp e\amp f\end{pmatrix}\) par la matrice nulle \(0_{3, 2}\text{.}\)

   Soient \(A\in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{,}\)et \(q\in \N\text{.}\) Quelle est la taille de la matrice \(0_{qn}\cdot A\) ?

   On montre que c'est la matrice nulle en montrant que tous ses coefficients sont nuls:

   Preuve.

   La matrice \(0_{qn}\cdot A\) est de taille \(q\times p\) et le coefficient en position \((i,j)\) est donné par la formule (2.1):

   \begin{equation*} \sum_{k=1}^n (0_{qn})_{ik}a_{kj} = 0 \text{ car } (0_{qn})_{ik}=0 \text{ pour tous }i,k. \end{equation*}

   Autrement dit, tous les coefficients de \(0_{qn}\cdot A\) sont nuls: donc \(0_{qn}\cdot A\) est la matrice nulle de taille \(q\times p\text{,}\) \(0_{qp}\text{.}\)

   ✑ Montrer de la même façon que \(A\cdot 0_{pq}=0_{nq}\text{.}\)

2. ✑ Calculez le produit de \(A=\begin{pmatrix}1\amp 3\amp 2\\-1\amp 2\amp 1\end{pmatrix}\) par la matrice(-colonne) \(3B\text{,}\) où \(B= \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\text{,}\) puis le produit de \(3A\) par \(B\text{.}\)

   Soient \(A\in \mathcal M_{n,p}(\K), B\in \mathcal M_{p,q}(\K)\text{,}\) et \(\lambda \in \R\text{.}\) Les matrices \(\lambda (AB), (\lambda A)B, A(\lambda B)\) ont toutes la même taille. Reste à vérifier qu'elles ont les mêmes coefficients.

   On utilise pour cela la formule (2.1) pour calculer le \((i,j)\)-ième coefficient de \((\lambda A)B\) et vérifier qu'il est égal au \((i,j)\)-ième coefficient de \(\lambda (AB)\text{.}\)

   Preuve.

   Soient \(i\in \{1,\ldots,n\}, j\in \{1,\ldots,q\}\text{.}\) Le \((i,j)\)-ième coefficient de \((\lambda A)B\) est donné par

   \begin{align*} \sum_{k=1}^p (\lambda A)_{ik}b_{kj} \amp = \sum_{k=1}^p (\lambda a_{ik}b_{kj}) \\ \amp = \lambda\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}\\ \amp = \lambda (AB)_{ij} \end{align*}

   c'est le coefficient en position \((i,j)\) de la matrice \(\lambda (AB)\text{.}\)

   ✑ Montrer de la même façon que \(A(\lambda B) = \lambda (AB).\)

3. Soient \(A\in \mathcal M_{n,p}(\K), B\in \mathcal M_{p,q}(\K)\text{,}\) \(C\in \mathcal M_{q,r}(\K)\text{.}\)

   ✑ Quelles sont les tailles des matrices \(AB\text{,}\) \((AB)C\text{,}\) \(BC\) et \(A(BC)\) ?

   Puisqu'elles ont même taille, on montre l'égalité de \((AB)C\) et \(A(BC)\) coefficient par coefficient, en utilisant la formule (2.1)¹⁰:

   Preuve.

   Soient \(i\in \{1,\ldots,n\}, j\in \{1,\ldots,r\}\text{.}\) Le \((i,j)\)-ième coefficient de \((AB)C\) est donné par

   \begin{align*} \sum_{k=1}^q (AB)_{ik}c_{kj} \amp = \sum_{k=1}^q \left (\sum_{\ell=1}^p a_{i\ell}b_{\ell k}\right)c_{kj} \\ \amp = \sum_{k=1}^q \sum_{\ell=1}^p a_{i\ell}b_{\ell k} c_{kj}\\ \amp = \sum_{\ell=1}^p \sum_{k=1}^q a_{i\ell}b_{\ell k} c_{kj} = \sum_{\ell=1}^p a_{i\ell} \left(\sum_{k=1}^q b_{\ell k} c_{kj}\right)\\ \amp = \sum_{\ell=1}^p a_{i\ell} (BC)_{\ell j}: \end{align*}

   c'est le coefficient en position \((i,j)\) de la matrice \(A(BC)\text{.}\)

   Puisque les matrices \((AB)C\) et \(A(BC)\) ont même taille et même coefficients, elles sont égales.

4. Soient \(A\in \mathcal M_{n,p}(\K), B,C \in \mathcal M_{p,q}(\K)\text{.}\)

   ✑ Quelles sont les tailles des matrices \(AB, AC, AB+AC, B+C\) et \(A(B+C)\) ?

   Puisqu'elles ont même taille, reste à vérifier que les matrices \(AB+AC\) et \(A(B+C)\) ont les mêmes coefficients, toujours en utilisant (2.1)¹¹.

   Preuve.

   Soit \(i\in \{1,\ldots,n\}, j\in \{1,\ldots,q\}\text{.}\) On commence à en avoir l'habitude: le \((i,j)\)-ième coefficient de \(A(B+C)\) est donné par (2.1):

   \begin{align*} \sum_{k=1}^p a_{ik} (B+C)_{kj} \amp = \sum_{k=1}^p a_{ik} (b_{kj}+ c_{kj})\\ \amp =\sum_{k=1}^p (a_{ik}b_{kj}+ a_{ik}c_{kj}) =\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^p a_{ik}c_{kj}: \end{align*}

   c'est le \((i,j)\)-ième coefficient de \(AB+AC\text{.}\)

   Puisque les matrices \(AB+AC\) at \(A(B+C)\) ont même taille et même coefficients, elles sont égales.

5. Soient \(B,C \in \mathcal M_{n,p}(\K), A \in \mathcal M_{p,q}(\K)\text{.}\)

   ✑ En vous inspirant (ou pas !) du raisonnement ci-dessus, montrez que \((B+C)A=BA+CA\text{.}\)

Démonstration

Soit \(A\in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{.}\) On utilise, pour ne pas changer, la formule (2.1) pour calculer le coefficient en position \((i,j)\) de \(I_nA\) et montrer que c'est \(a_{ij}\text{.}\)

\(\leadsto\) ¹² Les matrices \(I_nA\) et \(A\) ont même taille et mêmes coefficients: elles sont donc égales.

✑ Montrez de même que \(AI_p =A\text{.}\)

Démonstration

Soient \(A,B \in \mathcal M_n(\K)\) telles que \(AB=BA\text{.}\) On va procéder par récurrence sur \(p\in\N\text{.}\)

Initialisation : Commençons par montrer que la formule est vraie pour \(p=0\text{.}\)

✑ Avant de passer à la deuxième étape de la réccurrence, voyons ce que ça donne pour les quelques \(p\) suivants:

Spoiler

Hérédité : Supposons que la formule est vraie pour un entier \(p\text{:}\)

et déduisons-en qu'elle doit aussi être vraie pour \(p+1\text{.}\)

Il nous faut donc calculer \((A+B)^{p+1}\text{.}\) Pour cela, on observe que, d'après la Définition 2.26, \((A+B)^{p+1}=(A+B)(A+B)^p\text{.}\)

Et ça tombe bien, on a supposé justement qu'on connaissait \((A+B)^p\) !

Grâce à notre hypothèse de récurrence (2.2), on montre que

Pour avancer, il nous serait utile de pouvoir réécrire \(BA^kB^{p-k}\) en \(A^kB^{p-k+1}\text{.}\)

✑ Montrer que, si \(A,B\in \mathcal M_n(\K)\) vérifient \(AB=BA\text{,}\) alors pour tout entier \(k\text{,}\) \(A^kB=BA^k\text{.}\)

Spoiler

En utilisant ceci, on a donc

Or, \(p-k=(p+1)-(k+1)\text{.}\) Fantastique, me direz-vous, et alors ?

Alors, dans la première somme, on peut faire un changement d'indice en posant \(\ell = k+1\text{,}\) ce qui donne

Nos deux sommes commencent à se ressembler ! En mettant de côté les termes \(\ell = p+1\) dans la première et \(k=0\) dans la deuxième, on va pouvoir les rassembler:

Il ne nous reste plus que quelques remarques calcultoires à faire.

✑ D'abord, un petit calcul montre que \(\binom{p}{k}+\binom{p}{k-1}=\binom{p+1}{k}\text{.}\)

Spoiler

Ensuite, pour réintégrer les deux termes qu'on a laissé de côté, observons que:

Ce qui, en mettant tout ensemble, donne:

Et¹⁸ c'est bien ce qu'on voulait obtenir.