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Section 1 Définitions et règles

Définition 1.1.

Une matrice \(A\) de taille \(n\times p\) est un tableau de scalaires à \(n\) lignes et \(p\) colonnes:

\begin{equation*} A= \left.\left( \vphantom{\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\\1\end{array}} \smash{\underbrace{ \begin{array}{crcrcrcr} a_{11}\amp a_{12}\amp \cdots \amp a_{1p}\\ a_{21}\amp a_{22}\amp \cdots \amp a_{2p}\\ \vdots\amp \amp \ddots\amp \vdots\\ a_{n1}\amp \cdots\amp \amp a_{np} \end{array} }_{p\text{ colonnes}}} \right)\right\} \,n\text{ lignes} \end{equation*}

où \(a_{ij}\in \K\) pour tous \(i,j\text{.}\) On note souvent, plus synthétiquement,

\begin{equation*} A=(a_{ij})_{\substack{1\leq i \leq n\\ 1 \leq j \leq p}} \end{equation*}

On note \(\mathcal M_{n,p}(\K)\) l'ensemble des matrices de taille \(n\times p\) à coefficients dans \(\K\text{.}\) Si \(n=p\) on note \(\mathcal M_{n}(\K)=\mathcal M_{n,n}(\K)\text{.}\)

Les matrices de taille \(n \times 1\) sont appellées matrices-colonnes (ou vecteurs-colonnes: on les identifiera d'ailleurs souvent aux vecteurs de \(\R^n\)).

Les matrices de taille \(1\times p\) sont appellées matrices-lignes (ou vecteurs-lignes).

  1. \(\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1\amp \sqrt{3}\amp -2\\ 5\amp 1.1\amp 4 \end{pmatrix} \in\mathcal M_{2,3}(\R);\quad a_{11}=1,\quad a_{2,3}=4 \)
  2. \(B=\begin{pmatrix} 1+2i\amp 3\\ 4i\amp \sqrt{2}+\sqrt{2}i \end{pmatrix} \in\mathcal M_{2}(\C)\)

    ✑ Qui est \(b_{21}?\) et \(b_{12}?\)

  3. \(C=\begin{pmatrix} 1\\1\\-5 \end{pmatrix}\in \mathcal M_{3,1}(\R)\simeq \R^3\) est un vecteur-colonne.

  4. \(L=\begin{pmatrix} 0\amp 3\amp -3\amp 4 \end{pmatrix}\in \mathcal M_{1,4}(\R)\) est une matrice-ligne.

Remarque 1.3.
En général, on ne fera pas la différence entre une matrice de taille \(1\times 1\) et son unique coefficient, qui est un scalaire: \(\mathcal M_1(\K)\simeq \K\text{.}\)

L'égalité de deux matrices se définit par l'égalité de leurs tailles et de leurs coefficients:

Définition 1.4.

Deux matrices \(A\) et \(B\) sont égales si elles ont même taille \(n\times p\) et mêmes coefficients:

\begin{equation*} \forall i\in \{1,\ldots,n\},\forall j\in\{1,\ldots,p\}, a_{ij}=b_{ij}. \end{equation*}

  1. Les matrices \(A=\begin{pmatrix} 18\amp a\\ 5\amp 2\\ 3 \amp 1 \end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 18\amp \pi \\ 5\amp 2\\ 3 \amp 1 \end{pmatrix}\) sont égales ssi \(a=\pi\text{.}\)

  2. En revanche, les matrices \(D=\begin{pmatrix} 1\amp b\\ b\amp 2 \end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 1\amp 5 \\ 3\amp 2 \end{pmatrix}\) ne sont pas égales, quel que soit le paramètre \(b\text{.}\)

  3. Les matrices

    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -3\\ e^2 \end{pmatrix} \text{ et } \begin{pmatrix} 1\amp 2\amp -3\amp e^2 \end{pmatrix} \end{equation*}

    ne sont pas égales: elles n'ont pas la même taille.

On va sommer deux matrices de même taille coefficient par coefficient, et de même pour les multiplier par un scalaire:

Définition 1.6.

  • Soient \(A,B\in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{.}\) Leur \(somme\) \(C=A+B\) est la matrice de taille \(n\times p\) définie par

    \begin{equation*} c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. \end{equation*}

  • Soient \(A\in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{,}\) \(\lambda\in \K\text{.}\) On note \(\lambda \cdot A\) la matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\K)\) dont les coefficients sont \(\lambda a_{ij}\text{,}\) \(1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p\text{.}\)

\begin{align*} A\amp =\begin{pmatrix} 2\amp 0\amp -1\\ 1\amp -1\amp 0 \end{pmatrix}, \amp B\amp =\begin{pmatrix} 7\amp 6\amp 4\\ 0\amp 0\amp 1 \end{pmatrix}\ \amp \leadsto\ A+B=\begin{pmatrix} 9\amp 6\amp 3\\ 1\amp -1\amp 1 \end{pmatrix} \\ A\amp =\begin{pmatrix} 2\amp 0\amp -1\\ 1\amp -1\amp 0 \end{pmatrix}, \amp B\amp =\begin{pmatrix} 8\amp 6\\ 1\amp 2 \end{pmatrix}\ \amp \leadsto\ A+B\text{ n'est pas défini.}\\ A\amp =\begin{pmatrix} 2\amp 0\amp -1\\ 1\amp -1\amp 0 \end{pmatrix}, \amp \lambda\amp =4 \ \amp \leadsto\ 4A= \begin{pmatrix} 8\amp 0\amp -4\\ 4\amp -4\amp 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Introduisons quelques notations naturelles:

Notations: Soit \(A\in\mathcal M_{n,p}(\K)\text{.}\)

  • On note \(0_{n,p}\) la matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\K)\) dont tous les coefficients sont nuls.
  • On note \(-A\) la matrice \((-1)\cdot A\) et on l'appelle l'opposé de \(A\text{.}\)
  • On note \(A-B= A+(-B)\text{.}\)

Quelques propriétés peu surprenantes:

Montrons par exemple le point 4.

Le \((i,j)\)-ème coefficient de la matrice \((\lambda+ \mu)A\) est, d'après notre définition de la mutliplication,

\begin{equation*} (\lambda+\mu)a_{ij} \end{equation*}

ce qui, d'après les bonnes vieilles règles de calcul basiques sur \(\R\text{,}\) vaut

\begin{equation*} \lambda a_{ij} + \mu a_{ij} \end{equation*}

Or, \(\lambda a_{ij}\) est le \((i,j)\)-ème coefficient de la matrice \(\lambda A\) et \(\mu a_{ij}\) est le \((i,j)\)-ème coefficient de la matrice \(\lambda A\text{.}\) Doe là, d'après notre définition de l'addition de matrices,

\begin{equation*} \lambda a_{ij} + \mu a_{ij} \end{equation*}

est le \((i,j)\)-ème coefficient de la matrice \(\lambda A + \mu A\text{.}\)

Ces deux matrices ont la même taille et les mêmes coefficients, donc elles sont égales.

✑ Montrez les autres points !

Ces propriétés nous permettent de calculer avec des matrices de façon très intuitive: ainsi, si \(A,B,C\) sont trois matrices de même taille,

\begin{equation*} (2A+3B)-(3C+B) = 2A+3B-3C-B = 2A+3B-3C-B=2A+2B-3C \end{equation*}

Ce genre d'expression s'appelle une combinaison linéaire des matrices \(A,B,C\text{:}\) les règles d'addition et multiplication scalaire sont choisies pour qu'on puisse facilement traiter ce genre de choses.

Plus généralement, si on a \(k\) matrices de même taille \(A_1,\ldots,A_k\) et \(k\) scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\text{,}\) on peut former la combinaison linéaire:

\begin{equation*} \lambda_1 A_1 + \lambda_2 A_2 + \ldots +\lambda_k A_k \end{equation*}
(a)

Soient \(A_1=\begin{pmatrix} 0\amp -1\\0\amp 0 \end{pmatrix}, A_2=\begin{pmatrix} 1\amp 0\\0\amp 2 \end{pmatrix}, A_3=\begin{pmatrix} 0\amp 2\\1\amp 0 \end{pmatrix}\) dans \(\mathcal M_2(\R)\text{.}\)

✑ La matrice \(B=\begin{pmatrix} 1\amp 5\\2\amp 2 \end{pmatrix}\) est-elle combinaison linéaire de \(A_1,A_2,A_3\) ?

Indication

Si \(B\) est combinaison linéaire de \(A_1,A_2,A_3\text{,}\) alors il existe \(\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3\) 3 réels tels que \(B=\lambda_1 A_1 + \lambda_2 A_2 + \lambda_3 A_3\text{.}\)

Calculer \(\lambda_1 A_1 + \lambda_2 A_2 + \lambda_3 A_3\text{.}\) A quelle condition cette matrice est-elle égale à \(B\text{?}\)

(b)
Mêmes questions pour la matrice \(\begin{pmatrix} 0\amp 3\\2\amp 1 \end{pmatrix}\text{.}\)