Section 2 \(C^0([-1,1],\mathbb R)\) est complet pour \(\|.\|_\infty\) mais pas pour \(\|.\|_1\text{.}\)
Notons \(E=C^0([-1,1],\mathbb R)\) l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur \([-1,1]\text{.}\) On le munit des deux normes suivantes: pour \(f\in E\text{,}\)
Project 2.1. Comparaison des normes.
(a)
Ces deux normes sont-elles équivalentes ?
Supposer par l'absurde qu'il existe \(c\gt 0\) tel que pour toute \(f\in E\text{,}\) \(\|f\|_\infty \leq c\|f\|_1\text{,}\) puis trouver une suite \((f_n)_n\in E^{\mathbb N}\) telle que
pour obtenir une contradiction.
Indice: Les \((f_n)\) sont des fonctions "pointues".
(b)
Montrer que si une suite \((f_n)_n \in E^{\mathbb N} \) converge dans \((E,\|.\|_\infty)\) alors elle converge vers la même limite dans \((E,\|.\|_1)\text{,}\) mais que la réciproque est fausse.
Project 2.2. \((E,\|.\|_1)\) n'est pas complet.
On considère la suite de fonctions \((f_n)_n \in E^{\mathbb N} \) définie par
(a)
Dessiner une allure des fonctions \(f_n\text{.}\)
(b)
Montrer que \((f_n)_n\) est de Cauchy dans \((E,\|.\|_1)\text{.}\)
Pour \(p,q\in \mathbb N\text{,}\) on commence par calculer
Graphiquement, on a:
(c)
Supposons, par l'absurde, que \((f_n)_n\) converge dans \((E,\|.\|_1)\) vers une fonction \(f\in E\text{.}\) Soit \(A\gt 0\) et \(p_0\in \mathbb N^*\) tel que \(\frac 1{p_0} \lt A\text{.}\) Montrer que
et, de là, que \(f\) n'est pas continue en 0, ce qui contredit \(f\in E\text{.}\)
(d)
Conclure que \((E,\|.\|_1)\) n'est pas complet.Project 2.3. \((E,\|.\|_\infty)\) est complet.
Soit \((f_n)_n \in E^{\mathbb N} \) une suite de Cauchy dans \((E,\|.\|_\infty)\)
(a)
Soit \(x\in [-1,1]\text{.}\) Montrer que la suite \((f_n(x))_n \in \mathbb R^{\mathbb N}\) est de Cauchy dans \(\mathbb R\text{.}\) En déduire qu'elle converge vers un réel \(f(x)\text{.}\) Ceci définit une fonction \(f:[-1,1]\rightarrow \mathbb R\text{.}\)
(b)
Montrer que, pour tout \(x\in [-1,1]\text{,}\)
et en déduire que \(\sup_{x\in [-1,1]}|f_n(x) - f(x)|\rightarrow 0\text{.}\)
(c)
Soit \(x_0\in [-1,1]\text{.}\) Montrer que pour tout \(y\in [-1,1]\) et pour tout \(n\in \mathbb N\text{,}\) on a:
En déduire que \(f\in E\text{.}\)