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Section 1 Incomplétude de l'espace des polynômes de \([-0.5,0.5]\) pour la norme \(\|.\|_\infty\)

On note \(E\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes sur \(\left[-1/2,1/2\right]\text{.}\) Remarquons que \(E\subset \mathcal C^0(\left[-1/2,1/2\right],\mathbb R)\text{.}\) On munit \(\mathcal C^0(\left[-1/2,1/2\right],\mathbb R)\) de la norme donnée par

\begin{equation*} \forall\, f\in \mathcal C^0(\left[-1/2,1/2\right],\mathbb R),\ \|f\|_\infty=\max_{x\in[-1/2,1/2]}|f(x)| \end{equation*}

Pour \(n\in\mathbb N\) on note \(P_n\) le polynôme:

\begin{equation*} P_n(x)=\sum_{k=0}^n(-1)^k x^k \end{equation*}
Project 1.1.
(a)

Montrer que pour tout \(n\in \mathbb N\) et pour tout \(x\in[-1/2,1/2]\text{,}\) on a:

\begin{equation*} \left| \frac1{1+x} - P_n(x)\right|\leq \frac1{2^n} \end{equation*}
Hint

Utiliser la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique.

Solution
(b)

Montrer que la suite \((P_n)_n\) converge dans l'e.v.n. \((C^0(\left[-1/2,1/2\right],\mathbb R), \|.\|_\infty)\) vers une fonction que l'on déterminera.

Hint

Ce ne serait pas déraisonnable que cette fameuse fonction soit \(f(x)=\frac 1{1+x}\text{.}\) Utiliser la définition de la convergence dans un e.v.n.

Solution
(c)

Justifier que \((P_n)_n\) est de Cauchy dans \((E,\|.\|_\infty)\text{.}\)

Hint

La suite \((P_n)_n\) est convergente donc de Cauchy dans \((C^0(\left[-1/2,1/2\right],\mathbb R), \|.\|_\infty)\text{.}\) Et la définition d'une suite de Cauchy ne dépend que des termes de la suite, or pour tout \(n\in\mathbb N\text{,}\) \(P_n\in E\text{.}\)

Solution
(d)

Montrer que si \(P_n \rightarrow P\) dans \(E\) alors \(P_n \rightarrow P\) dans \(C^0(\left[-1/2,1/2\right],\mathbb R)\text{.}\)

Solution
(e)

En déduire que \((E,\|.\|_\infty)\) n'est pas complet.

Solution