Systèmes linéaires

Sous-section 2.1 Systèmes échelonnés

Avant de s'attaquer à la résolution générale de systèmes linéaires, voyons un cas facile à résoudre:

qui nous donne, en remontant, une unique solution: \((1,-3,3)\text{.}\)

De même, le système suivant n'a, clairement, aucune solution, puisque sa dernière ligne est fausse¹

Un chouïa plus dur, mais pas beaucoup plus:

On n'a ici pas de valeurs unique pour \(x_3\text{,}\) mais on voit qu'on peut l'exprimer en fonction de \(x_4\text{:}\) la dernière ligne donne \(x_3=1-2x_4\text{.}\)

De là, on peut exprimer \(x_2\) en fonction de \(x_3\) et \(x_4\text{,}\) et en remplaçant \(x_3\) par \(1-2x_4\text{,}\) on exprime \(x_2\) seulement en fonction de \(x_4\text{:}\) on trouve \(x_2=2+3x_4\text{.}\)

Enfin, on utilise la première ligne pour faire de même avec \(x_1,\) ce qui donne \(x_1=-5x_4-4\text{.}\)

Il y a donc une solution pour chaque valeur de \(x_4\text{:}\) l'ensemble des solutions est donc infini.

Donnons un nom à ces sympathiques systèmes:

Plus généralement, un système échelonné est de la forme

où on a \(1\lt j_2 \lt \dots \lt j_r \leq p\text{,}\) et où les "pivots" \(a_{11}, a_{2j_2},\dots,a_{rj_r}\) sont tous non nuls. Le rang du système est l'entier \(r\text{.}\)

On a donc:

L'avantage des systèmes échelonnés, c'est qu'ils sont faciles à résoudre. On distingue différents cas:

• Si l'un des \(b'_{r+1}, \dots,b'_n\) est non nul, le système n'a pas de solution. Ce cas ne se produit que si \(r\lt n\text{.}\)

• Sinon, \(b'_{r+1}= \dots=b'_n=0\text{,}\) et, en ôtant les (éventuelles) lignes \(0=0\text{,}\) notre système échelonné est équivalent à

  \begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a'_{11}x_1\amp +\amp a'_{12} x_2\amp +\amp \dots \amp +\amp \amp +\amp a'_{1p}x_p\amp =\amp b'_1\cr \amp \amp a'_{2j_2} x_{j_2}\amp +\amp \dots \amp +\amp \amp +\amp a'_{2p}x_p\amp =\amp b'_2\cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \vdots \amp \amp \cr \amp \amp \amp \amp a'_{rj_r}x_{j_r}\amp +\amp \dots\amp +\amp a'_{rp}x_p \amp =\amp b'_r\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}

  Alors,

  • si \(r=p\text{,}\) il n'y a pas d'inconnues libres, et le système est triangulaire:

    \begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a'_{11}x_1\amp +\amp a'_{12} x_2\amp +\amp \dots \amp +\amp \amp +\amp a'_{1p}x_p\amp =\amp b'_1\cr \amp \amp a'_{2j_2} x_{j_2}\amp +\amp \dots \amp +\amp \amp +\amp a'_{2p}x_p\amp =\amp b'_2\cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \vdots \amp \amp \cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp a'_{rr}x_r\amp =\amp b'_r\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}

    \((SE')\) admet une unique solution, qu'on obtient "en remontant":

    On fait \(x_r = \frac {b'_r}{a'_{rr}}\text{,}\) d'où l'on déduit \(x_{r-1}\) en remplaçant \(x_r\) par sa valeur dans la ligne \(L_{r-1}\text{,}\) d'où l'on déduit \(x_{r-2}\text{,}\) etc.

  • si \(r\lt p\text{,}\) les inconnues \((x_{j_{r+1}},\dots,x_p)\) sont libres. On écrit alors:

    \begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a'_{11}x_1\amp +\amp a'_{12} x_2\amp +\amp \dots\amp +\amp a'_{1j_r}x_{j_r}\amp =\amp b'_1 - a'_{1j_{r+1}}x_{j_r+1}- \dots-a'_{1p}x_p\cr \amp \amp \amp +\amp \dots \amp +\amp a'_{2j_r}x_{j_r}\amp =\amp b'_2 - a'_{2j_{r+1}}x_{j_r+1}- \dots-a'_{2p}x_p\cr \amp \amp \amp \amp \amp\amp \vdots \amp \amp \cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp a'_{rj_r}x_{j_r} \amp = \amp b'_r - a'_{rj_{r+1}}x_{j_r+1}- \dots-a'_{rp}x_p \cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}

    et pour chaque choix d'inconnues libres \((x_{j_{r+1}},\dots,x_p)\text{,}\) on a une solution. Il y a donc une infinité de solutions.

Sous-section 2.2 Résolution de systèmes linéaires quelconques.

Voyons maintenant la méthode du pivot de Gauss, qui permet de résoudre tous les systèmes linéaires. On va utiliser les faits suivants²:

• Quels que soient \(A,B,A',B'\text{,}\)

  \begin{equation*} \begin{cases}A=B\\A'=B'\end{cases} \iff \begin{cases}A'=B'\\A= B\end{cases} \end{equation*}
• Si \(\alpha\neq 0\text{,}\) \(A=B\iff \alpha A = \alpha B\text{.}\)

• Pour tout réel \(\lambda\text{,}\)

  \begin{equation*} \begin{cases}A=B\\A'=B'\end{cases}\iff \begin{cases}A=B\\A'+\lambda A=B'+\lambda B\end{cases} \end{equation*}

On en déduit qu'on peut appliquer les opérations élémentaires suivantes au système \((S)\) pour obtenir un système équivalent.

• l'échange de deux lignes: \({\color{blue}{L_i \leftrightarrow L_j}}\)
• la multiplication d'une ligne par un réel non nul \(\alpha\text{:}\) \({\color{blue}{L_i \leftarrow \alpha L_i}}\)
• l'ajout à une ligne d'un multiple d'une autre: \({\color{blue}{L_i \leftarrow L_i+ \lambda L_j}}\)

L'algorithme du pivot de Gauss consiste à passer d'un système linéaire quelconque \((S)\) à un système échelonné équivalent \((S_E)\) en utilisant intelligemment les 3 opérations élémentaires.

L'idée est d'utiliser un coefficient non nul devant l'inconnue \(x_1\) sur la première ligne pour se "débarrasser" des \(x_1\) apparaissant dans les lignes en dessous. Puis on garde le \(x_2\) a la deuxième ligne et on s'en sert pour éliminer tous les \(x_2\) sur les lignes \(3,4,...,n\text{.}\) On élimine ainsi de plus en plus de variables.

Voyons cela sur un exemple: on considère le système linéaire à 4 inconnues et 3 équations suivant:

Premier problème: le coefficient de la première inconnue \(x\) dans la première ligne est 0. On utilise donc l'opération élémentaire \({\color{blue}{L_1\leftrightarrow L_2}}\) pour y remédier, ce qui nous donne le système équivalent

Utilisons maintenant la première ligne pour éliminer les \(x\) sur les 3 autres lignes. Sur la deuxième ligne, il n'y a pas de \(x\text{,}\) donc on n'y touche pas, et on fait les opérations \({\color{blue}{L_3\leftarrow L_3-3L_1}}\) et \({\color{blue}{L_4\leftarrow L_4-2L_1}}\text{,}\) ce qui donne

On utilise ensuite la deuxième ligne pour éliminer les \(y\) sur les lignes 3 et 4, via les opérations \({\color{blue}{L_3\leftarrow L_3+L_2}}\) et \({\color{blue}{L_4\leftarrow L_4+L_2}}\text{:}\)

ce qui est un superbe système échelonné ! En le résolvant par la méthode vue plus haut, on trouve que l'ensemble des solutions est donné par:

Regardons maintenant le cas général: considérons un système de \(n\) équations à \(p\) inconnues

Les étapes du pivot de Gauss sont alors:

1. Si tous les coefficients associés à \(x_1\) sont nuls, autrement dit si \(a_{11} = a_{21}=\dots=a_{n1}=0\text{,}\) alors on a en fait un système de \(x_2,\dots,x_p\text{.}\) On résoud alors le système à \(p-1\) inconnues \(x_2,\dots,x_p\text{.}\)

2. Supposons donc qu'un des \(a_{i1}\) est non nul. Quitte à échanger la première et la \(i\)-ème ligne via l'opération élémentaire \({\color{blue}{L_1\leftrightarrow L_i}}\text{,}\) on se ramène à \(a_{11}\neq 0\text{.}\)

   On utilise alors \(a_{11}\) comme pivot pour éliminer \(x_1\) dans toutes les autres équations via l'opération \({\color{blue}{L_k\leftarrow L_k - \frac{a_{k1}}{a_{11}}L_1}}\) pour \(k=2\dots n\text{.}\) Le système \((S)\) est donc équivalent à

   \begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a_{11}x_1\amp +\amp a_{12} x_2\amp +\amp \dots \amp +\amp a_{1p}x_p\amp =\amp b_1\cr 0\amp +\amp \alpha'_{22}x_2\amp +\amp \dots\amp +\amp a'_{2p}x_p\amp =\amp b'_2\cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp \vdots\amp \amp \cr 0\amp +\amp \alpha'_{n2} x_2\amp +\amp \dots\amp +a'_{np}x_p\amp =\amp b'_n\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}

3. Si l'un des \(\alpha'_{k2}\) est non nul, on recommence avec \(x_2\text{:}\) on échange \(L_2\) et \(L_k\text{.}\) On peut donc supposer \(\alpha'_{22}\neq 0\text{,}\) et on utilise ce pivot pour éliminer \(x_2\) dans les autres équations, par l'opération \({\color{blue}{L_j\leftarrow L_j - \frac{\alpha'_{j2}}{\alpha'_{22}}L_2}}\text{.}\)

   Si tous les \(\alpha'_{k2}\) sont nuls, c'est-à-dire si \(x_2\) n'apparaît plus que dans la première ligne, on regarde les \(\alpha'_{k3}\) et on procède de même. Et si les \(x_3\) n'apparaissent pas non plus dans les lignes 2 à \(n\text{,}\) on utilise \(x_4\text{,}\)etc.

4. En éliminant les inconnues une par une, on se ramène ainsi à un système échelonné, qui comme on l'a vu est facile à gérer. Et on a fini !

Il y a donc trois cas possibles pour l'ensemble des solutions \(\mathcal S\) d'un système d'équation linéaires \((S)\text{,}\) qui sont ceux qu'on a obtenu pour les systèmes échelonnés:

1. Soit il n'y a aucune solutions: \(\mathcal S = \emptyset\text{;}\)
2. Soit il y a une unique solution \(\mathcal S =\{X_0\}\text{;}\)

3. Soit il y a une infinité de solutions, dépendant du choix de \(p-r\) inconnues libres \(y_1,\dots y_{p-r}\text{:}\)

   \begin{equation*} \mathcal S =\left\{\left(c_1+\sum_{i=1}^{p-r} \lambda_{1i}y_i, \dots,c_p+\sum_{i=1}^{p-r} \lambda_{pi}y_i\right), y_1,\dots,y_{p-r}\in \mathbb R \right\} \end{equation*}

Sous-section 2.3 Systèmes homogènes

Dans le cas particulier où le second membre est nul \((b_1=\dots=b_n=0)\text{,}\) on dit que le système est homogène.

Un système homogène admet toujours au moins la solutions nulle \(x_1=\dots=x_p=0\text{.}\) Il n'y a donc que deux cas possibles:

• soit le rang du système est égal au nombre d'inconnues, et la \((0,\dots,0)\) est la seule solution;
• soit le rang est strictement inférieur au nombre d'inconnues, et il y a alors, en plus de \((0,\dots,0)\text{,}\) une infinité de solutions non nulles.

En particulier, un système homogène qui a plus d'inconnues que d'équations a toujours une infinité de solutions.

✑ Que se passe-t-il si on fixe \(m=p=0\) ici ? et là ?

✑ En revenant aux interprétations géométriques de la section précédentes, à quoi correspondent les systèmes homogènes à 2 équations et 2 inconnues ?

Sous-section 2.4 Exemples

On va résoudre le système à 4 inconnues et 3 équations suivants:

Pour commencer, il faut que le coefficient devant \(x_1\) dans la première ligne soit non nul. Ce n'est pas le cas, donc on commence par échanger les lignes \(L_1\) et \(L_2\text{:}\)

On choisit alors comme premier pivot le coefficient 1 devant \(x_1\) dans la ligne \(L_1\text{.}\) On va s'en servir pour éliminer \(x_1\) dans les autres lignes. Pour \(L_2\text{,}\) comme \(x_1\) n'y figure pas, on n'a rien à faire. On fait donc \(L_3 \leftarrow L_3 + L_1\text{:}\)

On utilise maintenant le pivot \(-x_2\) au début de la deuxième ligne pour éliminer \(x_2\) dans la troisième ligne via \(L_3 \leftarrow L_3+L_2\text{:}\)

On a ainsi obtenu un système échelonné de rang 3. Les inconnues principales sont \(x_1, x_2\) et \(x_3\) et il y a une inconnue libre \(x_4\text{.}\) On exprime donc \(x_1, x_2, x_3\) en fonction de celle-ci:

et on "remonte" pour remplacer \(x_3\) et \(x_2\) par leurs valeurs en fonction de \(x_4\text{:}\)

L'ensemble des solutions est donc \(\mathcal S=\{(-2+4x_4,3+3x_4,4-5x_4 , x_4), x_4 \in \mathbb R\}\text{.}\)

Un exemple avec paramètre: On va résoudre, en fonction du paramètre \(a\text{,}\) le système

Le coefficient devant \(x\) dans la ligne \(L_1\) est non nul, on peut donc s'en servir pour éliminer \(x\) dans \(L_2\) et \(L_3\) par les opérations \(L_2 \leftarrow L_2 - 2 L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\text{:}\)

Le coefficient devant \(y\) dans la ligne 2 étant non nul, on l'utilise comme pivot pour éliminer \(y\) dans la ligne 3 via \(L_3 \leftarrow L_3-(a-1)L_2\text{,}\) ce qui donne:

soit, en remarquant que \(4-(a-1)(a+2)=-a^2+4+6=-(a-2)(a+3)\text{,}\)

Trois cas se présentent: soit \(a=2\text{,}\) soit \(a=-3\text{,}\) soit \(a\) n'est ni l'un ni l'autre.

1. Si \(a=2\text{,}\) la troisième ligne est \(0=0\) et le système équivaut à

   \begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcr} x\amp +\amp y\amp -\amp z\amp =\amp 1\cr \amp \amp y\amp +\amp 4z\amp =\amp 1\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}

   Il y a alors 2 variables principales \(x\) et \(y\) que l'on exprime en fonction de la variable libre \(z\text{:}\)

   \begin{equation*} \begin{cases} x\amp =1-y+z=5z\\ y\amp =1-4z\\ \end{cases} \end{equation*}

   Il y a donc une infinité de solutions \(\mathcal S = \{(5z, 1-4z,z),z \in \mathbb R\}\text{.}\)

2. Si \(a=-3\) la dernière ligne est \(0=1\text{:}\) le système n'a aucune solution.

3. Si \(a\neq 2\) et \(a\neq -3\text{,}\) le système est de rang 3 et admet une unique solution:

   \begin{equation*} \begin{cases} x\amp =1-y+z=1\\ y\amp =1 -(a+2)z = \frac1{a+3}\\ z\amp =\frac1{a+3} \end{cases} \end{equation*}

   d'où \(\mathcal S=\left\{\left(1,\frac1{a+3},\frac1{a+3}\right)\right\}\text{.}\)