Motivation.
En mathématiques, le but du jeu est souvent de résoudre une équation, ou plusieurs (on parle alors de système d'équations).
Et généralement, cela n'a rien d'évident: rien que pour des équations polynomiales, on sait résoudre \(ax+b=c\text{,}\) on sait quoi faire devant \(ax^2+bx+c=d\text{,}\) ça commence à se compliquer pour les équations de degré 3...
Mais dès le degré 5, non seulement on ne sait pas faire, mais un théorème dû à Abel et Galois affirme qu'il n'existe aucune formule générale, du type \(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{,}\) qui permette de calculer les solutions à partir des coefficients de l'équation !
Et encore, pour ces équations, il n'y a qu'une inconnue. Mais quelles sont les solutions de
Ou encore de
...Moi non plus.
Les systèmes d'équations linéaires sont un cas particulier pour lequel on dispose d'une méthode de résolution qui marche à tous les coups, tout en étant suffisamment généraux pour s'appliquer dans de nombreux domaines: de l'équilibrage d'équations de réaction en chimie, aux modèles économiques à la Leontieff, ils permettent de modéliser un grand nombre de situations.
Comme on le verra, ils sont de plus la base calculatoire de l'algèbre linéaire, un domaine permettant d'unifier l'étude d'objets mathématiques à première vue très différents. Ce sera l'objet de chapitres ultérieurs.
Commençons donc par apprendre à les résoudre.
Objectifs
- Systèmes à deux équations et deux inconnues : interprétations géométriques et résolution numérique
- Comment résoudre les faciles: systèmes échelonnés
- Comment transformer tous les autres en systèmes faciles: la méthode de Gauss
- Un cas particulier important: les systèmes homogènes