Echauffement: 2 équations, 2 inconnues

Section 1 Echauffement: 2 équations, 2 inconnues

Un système linéaire à deux équations et deux inconnues \(x\) et \(y\) est un système de la forme

\begin{equation*} (S) \begin{cases} \begin{array}{rcrcr} ax\amp +\amp by\amp =\amp m\cr cx\amp +\amp dy\amp =\amp p\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}

Résoudre le système revient à trouver tous les couples de réels \((x,y)\) qui vérifient simultanément les deux équations de \((S)\text{.}\)

Avant de se lancer dans des calculs, voyons comment interpréter la situation.

Remarquons d'abord que chaque ligne de \((S)\) donne l'équation d'une droite du plan. Donnons un nom à ces deux droites:

\begin{equation*} D_1=\{(x,y)\in \mathbb R^2, ax+by =m\}, \quad D_2=\{(x,y)\in \mathbb R^2, cx+dy = p\}. \end{equation*}

Une solution de \((S)\) est donc un point d'intersection de \(D_1\) et \(D_2\text{.}\) Il y a donc trois cas à considérer:

Les droites \(D_1\) et \(D_2\) ne sont ni parallèles ni confondues \(\iff\) le système a une unique solution.
Les droites \(D_1\) et \(D_2\) sont parallèles \(\iff\) le système n'a pas de solution.
Les droites \(D_1\) et \(D_2\) sont confondues \(\iff\) le système a une infinité de solutions.

Figure 1.1. \(D_1\) et \(D_2\) sont sécantes

Figure 1.2. \(D_1\) et \(D_2\) sont parallèles

Figure 1.3. \(D_1\) et \(D_2\) sont confondues

Essayez vous-même:

Figure 1.4.

✑ Quelles valeurs des coefficients donnent une infinité de solution ? zéro solution ? Y a-t-il un lien ?

✑ Parmi les trois cas possibles, lequel semble le plus "générique" ?

D'un autre côté, considérons les coefficients du système en colonne:

\begin{equation*} (S) \begin{cases} \begin{array}{rcrcr} {\color{orange}ax}\amp +\amp {\color{violet}b} y\amp =\amp {\color{red}m}\cr {\color{orange}cx}\amp +\amp {\color{violet}d} y\amp =\amp {\color{red}p}\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}

On note

\begin{gather*} {\color{orange}{\vec u}} \text{ le vecteur } {\color{orange}{(a,c)}},\\ {\color{violet}{\vec v}} \text{ le vecteur } {\color{violet}{(b,d)}},\\ {\color{red}{\vec w}} \text{ le vecteur } {\color{red}{(m,p)}}. \end{gather*}

Alors \((S)\) se réécrit \(x {\color{orange}{\vec u}}+y {\color{violet}{\vec v}}={\color{red}{\vec w}}\text{.}\) A nouveau, trois cas se présentent :

Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires.

\(\leadsto\) Dans ce cas, \(\vec u\) et \(\vec v\) forment un repère du plan, et résoudre le système \((S)\) revient à trouver les coordonnées \(x\) et \(y\) de \(\vec w\) dans le repère formé par \(\vec u\) et \(\vec v\text{.}\) Le système a donc une unique solution.
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, mais les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec w\) ne le sont pas.

\(\leadsto\) Dans ce cas, quels que soient \(x\) et \(y\text{,}\) le vecteur \(x\vec u+y \vec v\) est aussi colinéaire à \(\vec u\text{,}\) donc ne peut être égal à \(\vec w\text{.}\) Le système n'a donc aucune solution.
Les vecteurs \(\vec u\text{,}\) \(\vec v\) et \(\vec w\) sont colinéaires, disons \(\vec v = \alpha \vec u\) et \(\vec w = \beta \vec u\text{.}\)

\(\leadsto\) Dans ce cas, pour tout \(y\in \mathbb R\text{,}\) \(\vec w = \beta \vec u + y \vec v - y\vec v = (\beta - \alpha y) \vec u + y \vec v\) donc, pour tout \(y\in \mathbb R\text{,}\) \((\beta- \alpha y, y)\) est solution de \((S)\text{.}\) Le système admet une infinité de solutions.

Figure 1.5. \(\vec u\) et \(\vec v\) forment un repère

Figure 1.6. \(\vec u\text{,}\) \(\vec v\) colinéaires mais pas \(\vec w\)

Figure 1.7. \(\vec u\text{,}\) \(\vec v\text{,}\) \(\vec w\) sont colinéaires

Essayez vous-même:

Figure 1.8.

Comme tout à l'heure:

✑ Quelles valeurs des coefficients donnent une infinité de solution ? zéro solution ? Y a-t-il un lien ?

✑ Parmi les trois cas possibles, lequel semble le plus "générique" ?

Remarque 1.9.

Il y a une troisième façon d'écrire ce système, qui tient compte à la fois des lignes et des colonnes: c'est l'écriture matricielle. On réunit d'une part les coefficients du système dans un tableau de nombres (une matrice), d'autre part les inconnues à déterminer \(x\) et \(y\) dans un vecteur-colonne, et le second membre dans un autre vecteur colonne.

Ce qui donne:

\begin{equation*} \underbrace{ \begin{pmatrix} a\amp b \\ c \amp d \end{pmatrix} }_{A} \underbrace{ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} }_{X} = \underbrace{ \begin{pmatrix} m\\p \end{pmatrix} }_{B} \end{equation*}

On reviendra sur la signification de tout ceci, et les avantages de cette approche, au chapitre suivant.

Enfin, on peut résoudre le système par le calcul.

Pour que notre système ait effectivement deux inconnues, il faut que \(a\neq 0\) ou \(c\neq 0\text{.}\)

Quitte à échanger les deux lignes, on peut supposer que \(a\neq 0\text{.}\) Le système \((S)\) est alors équivalent à

\begin{equation*} \begin{cases} ax+by\amp =m\\ a(cx+dy) \amp = ap \end{cases} \quad {\color{blue}{L_2 \leftarrow a L_2}} \end{equation*}

On peut alors utiliser la première ligne pour "se débarrasser de \(x\)" dans la deuxième: \((S)\) est encore équivalent à

\begin{equation*} \begin{cases} ax+by\amp =m\\ a(cx+dy)-c(ax+by)\amp = ap-cm \end{cases} \quad {\color{blue}{L_2 \leftarrow L_2-c L_1}} \end{equation*}

autrement dit

\begin{equation*} \begin{cases} ax+by\amp =m\\ (ad-bc)y\amp = ap-cm \end{cases} \end{equation*}

Tout dépend donc de \(ad-bc\text{:}\)

Si \(ad-bc \neq 0\text{,}\) il y a une unique solution:

\begin{equation*} y=\frac{ap-cm}{ad-bc},\ x=\frac{md-bp}{ad-bc} \end{equation*}
Si \(ad-bc=0\text{,}\) deux cas se présentent:
- Soit \(ap-cm \neq 0\text{.}\) Auquel cas le système n'a aucune solution.
- Soit \(ap-cm=0\text{.}\) Alors le système est équivalent à \(ax+by=m\text{,}\) ou encore \(x=\frac ma - \frac ba y\text{.}\) Il y a alors une infinité de solutions: chaque choix de \(y\) donne un \(x\) tel que \((x,y)\) soit solution de \((S)\) (on dira que \(y\) est une inconnue libre).

✑ Les valeurs pour lesquels il y avait zéro/une infinité de solutions plus haut vérifient-elles \(ad-bc\neq 0\) ?

✑ Résoudre les systèmes suivants:

\(\displaystyle \begin{cases} x - y \amp = 2 \\ 2x - 2y \amp = 4 \\ \end{cases}\)
\(\displaystyle \begin{cases} x - y \amp = 2 \\ x + y \amp = 4 \\ \end{cases}\)
\(\displaystyle \begin{cases} x - y \amp = 2 \\ x - y \amp = 4 \\ \end{cases}\)

✑ Les résultats obtenus sont-ils compatibles avec les deux interprétations géométriques ?

Les liens entre ces différentes approches (intersections de droites, vecteurs formant un repère, matrices, et résolution de système) se retrouveront tout au long du cours.