Changement de base

Section 4 Changement de base

On n'a pas arrêté de le dire, la matrice associée à une application linéaire dépend des bases choisies sur \(E\) et \(F\)¹.

En cas de doute, revoir l'Example 2.3

Très bien, mais peut-on quand même prévoir comment la matrice représentant une même application linéaire change si on change les bases ?

\({\color{blue}{\leadsto}}}\) Plus précisément:

Si l'on choisit des bases différentes \(\B_1\) sur \(E\) et \(\B_1'\) sur \(F\text{,}\) peut-on déterminer \([x]_{\B_1}\) à partir de \([x]_\B\) et \([f]_{\B_1,\B_1'}\) à partir de \([f]_{\B,\B'}\) ?

Il se trouve que oui, c'est l'opération de changement de base. Introduisons d'abord une matrice qui va servir justement à ça:

Definition 4.1.

Soient \(\B_0=(e_1,\ldots,e_p),\B_1=(e_1',\ldots,e_p')\) deux bases de \(E\text{.}\)

On appelle matrice de passage de \(\B_0\) vers \(\B_1\), notée \(P_{\B_0,\B_1}\text{,}\) la matrice de \(\mathcal M_p(\K)\) dont la \(j\)-ème colonne est donnée par les coordoonnées de \(e_j'\) dans la base \(\B_0\text{.}\)

Cette matrice s'interprète en termes d'algèbre linéaire comme suit:

Proposition 4.2.

\(P_{\B_0,\B_1}\) est la matrice de \(\Id_E:E\rightarrow E\) dans les bases \({\color{red!70!black}{\B_1}}\) au départ et \({\color{red!70!black}{\B_0}}\) à l'arrivée:

\begin{equation*} P_{\B_0,\B_1}=[\Id_E]_{\B_1,\B_0} \end{equation*}

Proof.

La \(j\)-ième colonne de \([\Id_E]_{\B_1,\B_0}\) est donnée par les coordonnées de \(\Id_E(e_j')=e_j'\) dans la base \(\B_0\text{,}\) ce qui correspond à la \(j\)-ième colonne de \(P_{\B_0,\B_1}\text{.}\)

Example 4.3. Changement de base dans \(\R^2\).

Dans \(\R^2\text{,}\) on considère la base canonique \(\B'_0=(f_1,f_2)\) et la base

\begin{equation*} \B'_1=\left(f_1'=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, f_2'=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right) \end{equation*}

Alors

\begin{equation*} P_{\B'_0, \B'_1}= \begin{pmatrix} 1\amp 1\\0\amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

D'autre part,

\begin{equation*} \begin{cases} f_1=1\cdot f_1'+0\cdot f'_2\\ f_2=-1\cdot f'_1+1\cdot f'_2 \end{cases} \text{ donc } [f_1]_{\B'_1}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\ [f_2]_{\B'_1}= \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} \end{equation*}

\begin{equation*} P_{\B'_1, \B'_0}= \begin{pmatrix} 1\amp -1\\0\amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

Example 4.4. Changement de base dans \(\R^3\).

Considérons dans \(\R^3\) la base canonique \(\B_0=(e_1,e_2,e_3)\) et la base \(\B_1\) donnée par

\begin{equation*} \B_1=\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right) \end{equation*}

Alors

\begin{equation*} \begin{dcases} e_1'= e_1+ e_2 \\ e_2'= e_1+ e_3\\ e_3'= e_2 + e_3\\ \end{dcases} \end{equation*}

donc

\begin{equation*} P_{\B_0,\B_1}= \begin{pmatrix} 1\amp 1\amp 0\\1\amp 0\amp 1\\0\amp 1\amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

Réciproquement, on a

\begin{equation*} \begin{dcases} e_1=\frac 12 e_1'+\frac12 e_2' - \frac 12e_3'\\ e_2=\frac 12 e_1'-\frac12 e_2' + \frac 12e_3'\\ e_3=-\frac 12 e_1'+\frac12 e_2' + \frac 12e_3'\\ \end{dcases} \end{equation*}

donc

\begin{equation*} P_{\B_1,\B_0}=\frac 12 \begin{pmatrix} 1\amp 1\amp -1\\1\amp -1\amp 1\\-1\amp 1\amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

Proposition 4.5.

Soient \(\B_0,\B_1,\B_2\) trois bases sur \(E\text{.}\) Alors

\(P_{\B_0,\B_1}\) est inversible, et \(P_{\B_0,\B_1}^{-1}=P_{\B_1,\B_0}\)
\(\displaystyle P_{\B_0,\B_2}=P_{\B_0,\B_1}\cdot P_{\B_1,\B_2}\)

Proof.

D'après la Proposition 4.2, on a \(P_{\B_0,\B_1}=[\Id_E]_{\B_1,\B_0}\text{.}\) Or \(\Id_E\) est un isomorphisme, donc \(P_{\B_0,\B_1}\) est inversible et

\begin{equation*} (P_{\B_0,\B_1})^{-1}=[\Id_E]_{\B_1,\B_0}^{-1}=[\Id_E^{-1}]_{\B_0,\B_1}=[\Id_E]_{\B_0,\B_1}=P_{\B_1,\B_0}. \end{equation*}
On a \(\Id_E\circ \Id_E = \Id_E\text{,}\) d'où, par la formule de composition

\begin{equation*} P_{\B_0,\B_1}\cdot P_{\B_1,\B_2}=[\Id_E]_{\B_1,\B_0}[\Id_E]_{\B_2,\B_1}=[\Id_E\circ \Id_E]_{\B_2,\B_0}=P_{\B_0,\B_2} \end{equation*}

Avant de voir la formule de changement de base pour les matrices, voyons comment trouver les coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base:

Proposition 4.6.

Soient \(\B_0=(e_1,\ldots,e_p)\text{,}\) \(\B_1=(e_1',\ldots e_p')\) deux bases de \(E\text{.}\) Soit \(x\in E\text{,}\) alors il existe des coordonnées \((x_j)\) et \((x_j')\) telles que \(x=\sum x_je_j=\sum_jx'_j e'_j\text{.}\)

On note

\begin{equation*} X=[x]_{\B_0}=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_p\end{pmatrix}, X'=[x]_{\B_1}=\begin{pmatrix}x'_1\\\vdots\\x'_p\end{pmatrix} \end{equation*}

Alors

\begin{equation*} \boxed{X=P_{\B_0,\B_1}X'}. \end{equation*}

Proof.

On utlise la Proposition 4.2:

\begin{equation*} X=[x]_{\B_0}=[\Id_E(x)]_{\B_0}=[\Id_E]_{\B_1,\B_0}[x]_{\B_0}=P_{\B_0,\B_1}X'. \end{equation*}

Example 4.7.

Ajouter exemple

Pour les applications linéaires, on a:

Proposition 4.8.

Soit \(f\in \mathcal L(E,F)\text{,}\) \(\B_0,\B_1\) deux bases de \(E\text{,}\) \(\B'_0,\B'_1\) deux bases de \(F\text{.}\)

On note

\begin{equation*} A=[f]_{\B_0,\B_0'},\ B=[f]_{\B_1,\B_1'},\ P=P_{\B_0,\B_1},\ Q=P_{\B'_0,\B'_1} \end{equation*}

Alors on a

\begin{equation*} \boxed{B=Q^{-1}AP},\ \text{ i.e. } [f]_{\B_1,\B_1'}=P_{\B'_1,\B'_0}[f]_{\B_0,\B_0'}P_{\B_0,\B_1} \end{equation*}

Proof.

En utilisant encore la Proposition 4.2, on écrit \(f:(E,\B_1)\rightarrow (F,\B_1')\) comme la composée

\begin{equation*} (E,\B_1)\xrightarrow[\Id_E]{} (E,\B_0) \xrightarrow[f]{} (F,\B'_0) \xrightarrow[\Id_F]{} (F,\B'_1,) \end{equation*}

ce qui, écrit avec des matrices, donne

\begin{equation*} [f]_{\B_1,\B_1'}=[\Id_F]_{\B'_0,\B'_1}[f]_{\B_0,\B_0'}[\Id_E]_{\B_1,\B_0}=P_{\B'_1,\B'_0}[f]_{\B_0,\B_0'}P_{\B_0,\B_1} \end{equation*}

comme annoncé.

Example 4.9. Changement de bases de notre exemple habituel.

On a vu à l'Example 2.3 que la matrice de l'application \(f:(x,y,z)\in\R^3\mapsto (2x+y,y+z)\in\R^2\) est

\begin{align*} A\amp =\begin{pmatrix}2\amp 1\amp 0\\0\amp 1\amp 1\end{pmatrix} \text{ dans les base canoniques } \B_0 \text{ et } \B'_0\\ B\amp =\begin{pmatrix}2\amp 1\amp -1\\1\amp 1\amp 2\end{pmatrix} \text{ dans les bases } \B_1 \text{ et } \B'_1 \end{align*}

On a aussi calculé à l'Example 4.4 et à l':

\begin{equation*} P=P_{\B_0,\B_1}= \begin{pmatrix} 1\amp1\amp0\\1\amp0\amp1\\0\amp1\amp1 \end{pmatrix},\ Q^{-1}=P_{\B'_1, \B'_0}= \begin{pmatrix} 1\amp-1\\0\amp1 \end{pmatrix} \end{equation*}

On vérifie bien

\begin{equation*} Q^{-1}AP=\begin{pmatrix}1\amp -1\\0\amp 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\amp 1\amp 0\\0\amp 1\amp 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\amp 1\amp 0\\1\amp 0\amp 1\\0\amp 1\amp 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\amp 1\amp -1\\1\amp 1\amp 2\end{pmatrix} = B \end{equation*}

En particulier, dans le cas d'un endomorphisme, on sera plutôt amené à faire le même changement de base "au départ" et "à l'arrivée", ce qui donne:

Corollary 4.10.

Soit \(f\in\mathcal L(E)\) un endormorphisme, \(\B_0,\B_1\) deux bases de \(E\text{.}\) On note

\begin{equation*} A=[f]_{\B_0},\ B=[f]_{\B_1},\ P=P_{\B_0,\B_1} \end{equation*}

Alors \(\boxed{B=P^{-1}AP}\text{.}\)

Definition 4.11.

Soient \(A,B\in\mathcal M_n(\K)\) deux matrices carrées. On dit que \(B\) est semblable à \(A\) s'il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(B=P^{-1}AP\text{.}\)

\(\leadsto\)Deux matrices sont semblables si, et seulement si, elles représentent le même endormorphisme dans deux bases différentes.