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Section 2 Matrice d'une application linéaire

On a aussi vu au chapitre 5 qu'à toute matrice \(A\in \mathcal M_{n,p}(\K)\text{,}\) on peut associer une application linéaire

\begin{align*} \Phi_A:\K^p\amp \rightarrow \K^n\\ X\amp \mapsto AX \end{align*}

On va voir que réciproquement,à toute application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie, on peut associer une matrice.

Commençons par fixer quelques notations

On fixz pour la suite:

\begin{gather*} \mathscr B=(e_1,\ldots,e_p) \text{ une base de } E\\ \mathscr B'=(f_1,\ldots,f_n) \text{ une base de } F \end{gather*}

Pour chaque \(x\in E\text{,}\) il existe donc un unique \(p\)-uplet \((x_1\ldots,x_p) \in \K^p\) tel que \(x=x_1e_1+\ldots+x_pe_p\text{.}\)

\(\leadsto\) On peut donc lui associer un vecteur-colonne, que l'on note

\begin{equation*} [x]_{\mathscr B} = \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_p\end{pmatrix} \in \mathcal M_{p,1}(\K) \end{equation*}

De même, pour \(y\in F\text{,}\) il existe un unique \((y_1,\ldots,y_n) \in \K^n\) tel que \(y=y_1f_1+\ldots+y_nf_n\text{.}\)

On associe à \(y\) le vecteur-colonne

\begin{equation*} [y]_{\mathscr B'} = \begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix} \in \mathcal M_{n,1}(\K) \end{equation*}

On en vient enfin à notre application linéaire.

Soit donc \(f\in\mathcal L(E,F)\text{.}\) On a vu que si on connaît \(f(e_1),\ldots,f(e_p)\text{,}\) on peut en déduire \(f(x)\text{,}\) pour n'importe quel vecteur \(x\in E\text{.}\)

Concrètement, si on prend un \(j\in \{ 1,...,p \}\text{,}\) \(f(e_j)\in F\text{,}\) donc il existe des scalaires \(a_{1,j},\ldots,a_{n,j}\) tels que

\begin{equation*} f(e_j)=a_{1,j}f_1+\ldots+a_{n,j}f_n \end{equation*}

En somme

  • Pour connaître \(f(x)\) pour tout \(x\text{,}\) il suffit de connaître \(f(e_1),\ldots,f(e_p)\text{;}\)
  • Pour connaître \(f(e_j)\text{,}\) il suffit de connaître ses coordonnées \((a_{1,j},\ldots,a_{n,j})\) dans la base \(\mathscr B'\)
  • \(\leadsto\) Donc pour "connaître" \(f\text{,}\) il suffit de connaître \((a_{i,j})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}\text{.}\)
Definition 2.1.

La matrice de \(f\) dans les bases \(\mathscr B\) et \(\mathscr B'\) est la matrice \((a_{i,j})\) de \(\mathcal M_{n,p}(\K)\) dont la \(j\)-ième colonne est donnée par les coordonnées de \(f(e_j)\) dans la base \(\mathscr B'\text{.}\)

On la note:

Remark 2.2.
  • \(\triangleright\) La matrice de \(f\) est de taille \(\dim F\times \dim E\text{.}\)
  • \(\triangleright\) ⚠ La matrice de \(f\) dépend des bases choisies sur \(E\) et \(F\text{:}\) si on les change, on n'obtient pas les mêmes coefficients.
  • \(\triangleright\) Si \(f\in\mathcal L(E)\) est un endomorphisme, on choisit généralement la même base \(\B\) sur \(E\) au départ et à l'arrivée. On note alors la matrice de \(f\) dans cette base \([f]_{\B}\text{.}\)

Considérons \(f:(x,y,z)\in\R^3 \mapsto (2x+y,y+z)\in \R^2\text{.}\)

  1. On considère les bases canoniques \(\B_0=(e_1,e_2,e_3)\) sur \(\R^3\) et \(\B'_0=(f_1,f_2)\) sur \(\R^2\text{:}\)

    \begin{equation*} \B_0=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right),\ \B'_0=\left(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right) \end{equation*}

    Alors:

    \begin{gather*} f(e_1)=f(1,0,0)=(2,0)=2\cdot f_1+0\cdot f_2\\ f(e_2)=f(0,1,0)=(1,1)=1\cdot f_1+1\cdot f_2\\ f(e_3)=f(0,0,1)=(0,1)=0\cdot f_1+1\cdot f_2 \end{gather*}

    donc

    \begin{equation*} [f]_{\B_0,\B'_0}= \begin{pmatrix} 2\amp 1\amp 0\\0\amp 1\amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

  2. Toujours avec \(f:(x,y,z)\in\R^3 \mapsto (2x+y,y+z)\in \R^2\text{.}\)

    On considère les bases \(\B_1=(\tilde e_1,\tilde e_2,\tilde e_3)\) sur \(\R^3\) et \(\B'_1=(\tilde f_1,\tilde f_2)\) sur \(\R^2\) données par:

    \begin{equation*} \B_1=\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right),\ \B'_1=\left(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right) \end{equation*}

    Alors

    \begin{equation*} \begin{cases} f(\tilde e_1)=f(1,1,0)=(3,1)=2\cdot \tilde f_1+1\cdot \tilde f_2\\ f(\tilde e_2)=f(1,0,1)=(2,1)=1\cdot \tilde f_1+1\cdot \tilde f_2\\ f(\tilde e_3)=f(0,1,1)=(1,2)=-1\cdot \tilde f_1+2\cdot \tilde f_2 \end{cases} \end{equation*}

    donc

    \begin{equation*} [f]_{\B_1,\B'_1}= \begin{pmatrix} 2\amp 1\amp -1\\1\amp 1\amp 2 \end{pmatrix} \end{equation*}

Soit \(E=\R_2[X]\text{,}\) \(\B_0=(1,X,X^2)\) est une base de \(E\text{.}\) On considère l'application dérivation:

\begin{equation*} D:P\in \R_2[X]\mapsto P'\in \R_2[X] \end{equation*}

Alors

\begin{equation*} \begin{cases} D(1)=0=0\cdot 1 +0 \cdot X + 0\cdot X^2\\ D(X)=1=1\cdot 1+ 0\cdot X+0 \cdot X^2\\ D(X^2)=2X=0\cdot 1 + 2\cdot X+0\cdot X^2 \end{cases} \end{equation*}

donc

\begin{equation*} [D]_{\B_0}= \begin{pmatrix} 0\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 2\\0\amp 0\amp 0 \end{pmatrix} \end{equation*}

Soient \(E_1, E_2\) deux s.e.v. de \(E\) tels que \(E=E_1\oplus E_2\text{.}\) On considère la projection

\begin{align*} p_1:E=E_1\oplus E_2 \amp\rightarrow E\\ x=x_1+x_2\amp\mapsto x_1 \end{align*}

Soit \((u_1,\ldots,u_k)\) une base de \(E_1\text{,}\) \((v_{k+1},\ldots, v_p)\) une base de \(E_2\text{.}\)

Alors \(\B=(u_1,\ldots,u_k,v_{k+1},\ldots,v_p)\) est une base de \(E\text{.}\) On a

\begin{equation*} \begin{cases} p_1(u_1)=u_1,\ldots,p_1(u_k)=u_k\\ p_1(v_{k+1})=0_E,\ldots,p_1(v_p)=0_E \end{cases} \end{equation*}

donc

Un cas particulier important est celui de l'application \(\Id_E\text{,}\) dont on a parlé [provisional cross-reference: lien vers les matrices et les app lin]

Considérons donc l'application identité \(\Id_E:x\in E\mapsto x\in E\text{.}\) Soit \(\B=(e_1,\ldots,e_p)\) une base de \(E\text{.}\)

Alors
\begin{equation*} \Id_E(e_j)=e_j=0\cdot e_1 + \ldots+1\cdot e_j+\ldots+0\cdot e_p \end{equation*}

donc