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Section 1 Applications linéaires en dimension finie

Il existe une unique application linéaire \(f:\R^p \rightarrow \R_p[X]\) telle que

\begin{equation*} \forall\, i \in \{ 1,...p\} ,\ f(e_i)=(X+3)^i, \end{equation*}

où \((e_1,\ldots,e_p)\) est la base canonique de \(\R^p\text{.}\) L'application \(f\) est donnée par

\begin{align*} f(x_1,\ldots,x_p)\amp =f(x_1e_1+\ldots+x_pe_p)\\ \amp =x_1f(e_1)+\ldots x_pf(e_p)\\ \amp =x_1(X+3)+x_2(X+3)^2+\ldots+x_p(X+3)^p \end{align*}

  • Unicité: Supposons qu'il existe \(f,g\in\mathcal L(E,F)\) telle que \(f(e_i)=v_i=g(e_i)\) pour tout \(i\text{.}\)

    Soit \(x\in E\text{.}\) Alors, puisque \(\mathscr B\) est une base, il existe un unique \(p\)-uplet de scalaires \((x_1,\ldots,x_p)\in\K^p\) tel que

    \begin{equation*} x=x_1e_1+\ldots+x_pe_p \end{equation*}

    On a alors, par linéarité de \(f\) et \(g\text{,}\)

    \begin{align*} g(x)\amp =g(x_1e_1+\ldots+x_pe_p)=x_1g(e_1)+\ldots+x_pg(e_p)\\ \amp = \boxed{x_1v_1+\ldots+x_pv_p}\\ \amp =x_1f(e_1)+\ldots+x_pf(e_p)\\ \amp =f(x_1e_1+\ldots x_pe_p)=f(x) \end{align*}

    On a donc \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\in E\text{,}\) autrement dit \(f=g\text{.}\) Donc si une telle application linéaire existe, elle est unique.

  • Existence: Montrons que l'application suivante convient:

    \begin{equation*} f: x=\sum_{i=1}^p x_i e_i\in E \mapsto \sum_{i=1}^p x_i v_i \in F \end{equation*}

    • \(\triangleright\) \(f\) est linéaire: en effet, soient \(\lambda,\mu \in \K\) et \(x=\sum_i x_i e_i,y=\sum_i y_i e_i\) deux vecteurs de \(E\text{.}\) Alors

      \begin{align*} f(\lambda x+\mu y) \amp= f\left(\sum_i (\lambda x_i + \mu y_i)e_i\right)\\ \amp=\sum_i (\lambda x_i + \mu y_i)f(e_i)=\sum_i (\lambda x_i + \mu y_i)v_i\\ \amp=\lambda\sum_ix_iv_i + \mu\sum_i y_i v_i=\lambda f(x)+ \mu f(y). \end{align*}

    • \(\triangleright\) Pour tout \(i \in \{ 1,...,p\}\text{,}\) \(f(e_i)=v_i\text{.}\) En effet,

      \begin{equation*} e_i=0\cdot e_1+\ldots +1\cdot e_i +\ldots+0\cdot e_p \end{equation*}

      donc \(f(e_i) = 0\cdot v_1+\ldots +1\cdot v_i +\ldots+0\cdot v_p=v_i\text{.}\)

On avait vu au chapitre 5 que s'il existe un isomorphisme linéaire \(f:E\rightarrow F\text{,}\) alors \(\dim E= \dim F\text{.}\)

Réciproquement:

Notons \(n=\dim E = \dim F\text{.}\)

Soient \((e_1,\ldots, e_n)\) une base de \(E\) et \((f_1,\ldots,f_n)\) une base de \(F\text{.}\)

Il existe une unique \(f\in\mathcal L(E,F)\) telle que \(f(e_i)=f_i\) pour tout \(i\text{.}\)

\(\leadsto\) Montrons que \(f\) est bijective.

Puisque \(\dim E= \dim F\text{,}\) il suffit de montrer que \(f\) est injective, c'est-à-dire que \(\Ker(f)=\{0_E\}\text{.}\)

Soit \(x\in \Ker(f)\text{.}\) Alors \(x\) s'écrit \(x_1e_1+\ldots +x_ne_n\text{,}\) donc

\begin{equation*} 0_F=f(x)=x_1f(e_1)+\ldots x_nf(e_n)=x_1f_1+\ldots+x_nf_n \end{equation*}

Puisque \((f_1,\ldots,f_n)\) est une base de \(F\text{,}\) c'est une famille libre. Donc ceci implique \(x_1=\ldots=x_n=0\text{.}\) Mais alors

\begin{equation*} x=x_1e_1+\ldots+x_ne_n=0\cdot e_1+\ldots+0\cdot e_n =0_E. \end{equation*}

On a donc bien \(\Ker(f)=\{0_E\}\text{.}\)